교통량-속도-밀도 관계

관계의 정의

교통량-속도-밀도 관계는 연속교통류에서 세 변수 사이의 기본 관계다.

교통량은 도로의 한 지점을 단위 시간에 통과하는 차량 수이며 단위는 대/h다.

속도는 공간평균속도를 쓰고, 밀도는 단위 길이에 놓인 차량 수로 대/km 단위다.

세 변수는 서로 얽혀 있어 두 변수를 알면 나머지 하나가 정해진다.

기본 관계식

교통량은 밀도와 공간평균속도의 곱이다. 이를 기본 관계식이라 한다.

단위를 대입하면 대/km 곱하기 km/h는 대/h로 맞아떨어진다.

기본 관계식은 공간평균속도에서 성립하므로 속도의 정의를 먼저 확인해야 한다.

시간평균속도와 값이 달라지므로 답안 첫머리에 정의를 한 줄 쓴다.

Greenshields 모형

가장 널리 쓰이는 Greenshields 모형은 속도와 밀도를 직선으로 가정한다.

밀도가 0이면 자유속도 u_f로 달리고, 밀도가 k_j에 이르면 속도가 0이 된다.

이 식을 기본 관계식에 대입하면 교통량은 밀도에 대한 포물선이 된다.

교통량이 최대가 되는 밀도를 임계밀도 k_c라 한다.

최대 교통량 조건

교통량 식을 밀도로 미분해 0으로 놓으면 최대 조건이 나온다.

그 결과 밀도가 정체 밀도의 절반일 때 교통량이 최대가 된다.

이때 속도는 자유속도의 절반이고, 최대 교통량은 u_f × k_j ÷ 4다.

직접 풀어 보자. 자유속도 60km/h, 정체 밀도 100대/km인 도로다.

정답과 기본도 구간

앞의 문제 정답은 1500대/h다. 60 × 100 ÷ 4로 구한다.

기본도는 임계밀도를 기준으로 자유 흐름과 혼잡 흐름의 두 구간으로 나뉜다.

임계밀도 이하에서는 밀도가 늘면 교통량도 늘고, 넘으면 교통량이 줄어든다.

같은 교통량이라도 두 상태가 가능하므로 교통량만으로 판단하지 못한다.

한계와 정리

이 모형은 교통류가 정상 상태이고 차량이 균질하다고 가정한다.

신호교차로처럼 신호 주기에 따라 속도가 크게 변하는 중단류에는 맞지 않다.

정리하면 q = k u이고, 교통량은 k_c = k_j/2에서 최대가 된다.

직접 풀어 보자. 신호 도로에서 연속류 모형이 어려운 이유는 무엇인가?

정답은 신호 주기에 따른 속도 변동이다. 차량이 자주 멈추기 때문이다.