IIA(비관련대안의 독립성)

정의

비관련대안의 독립성은 두 대안의 선택확률 비가 제3의 대안과 무관하게 일정한 성질이다.

이는 로짓 계열 모형이 가진 구조적 가정이며 관측 자료로 확인한 사실이 아니다.

확률 비를 식으로 쓰면 분모가 약분되어 제3의 대안 항이 사라진다.

원리

새 수단이 생겨 분모의 합이 커지면 각 대안의 선택확률은 비례적으로 줄어든다.

하지만 두 대안의 확률 비는 분모가 약분되어 그대로 유지된다. 이것이 IIA의 수학적 이유다.

계산 예제

세 수단으로 가상의 예를 계산해 보자. 분모는 세 대안의 지수 효용 합이다.

철도를 제거해도 버스 대 승용차 비는 0.368로 같다. 이것이 IIA의 결과다.

버스 대안을 추가해도 이 비는 0.368로 같다. 승용차 점유율만 0.576에서 0.475로 줄어든다.

문제점

IIA 가정이 낳는 문제는 대체 패턴이 기존 비율대로 비례 배분된다는 점이다.

승용차 이용자 상대로 카풀과 환승 주차 수단이 함께 있을 때를 보자. 실제로는 환승 주차 수단이 카풀 이용자를 주로 끌어간다.

그러나 로짓은 카풀과 승용차 단독 이용자에게서 비슷한 비율로 빠져나온다고 계산한다.

이 왜곡은 수단별 분담률과 노선 수요를 틀리게 만들어 경제성 평가를 그르친다.

해결방안

IIA를 완화하려면 모형의 확률 구조를 바꿔야 한다. 해결방안은 세 갈래로 나뉜다.

중첩 구조는 유사한 대안을 묶어 같은 묶음 안의 상관을 허용한다.

분포 가정 완화는 혼합로짓과 다항프로빗으로 취향 차이와 오차 상관을 다룬다.

선호 이질성 반영은 HB-MNL로 개인별 선호를 추정해 IIA 문제를 일부 약화한다.

모형 비교

IIA를 완화하는 모형은 대안 묶음을 쓰는 계열과 오차 분포를 바꾸는 계열로 나뉜다.

중첩로짓은 같은 묶음 안에서만 IIA가 성립하며, 묶음 구조를 사전에 정해야 한다.

혼합로짓과 다항프로빗은 IIA가 성립하지 않지만 확률 계산이 복잡해진다.

모형은 대안 간 유사성과 자료의 설명력에 따라 고른다.

정리와 확인

IIA는 대안끼리 서로 무관하다는 뜻이 아니다. 선택확률 비율이 일정하다는 성질이다.

IIA는 모형 구조에서 나오는 가정이지 관측 자료로 확인한 사실이 아니다.

정리하면 정의는 선택확률 비의 불변, 문제는 비례 대체, 해결은 대안 간 상관 허용이다.

직접 풀어 보자.