교통량-속도-밀도 관계

왜 배우는가: 교통류 분석과 도로 용량 산정의 출발점이 되는 관계다. 교통류 관련 문제의 기초가 되므로 1교시 용어 문제와 2~4교시 논술 문제에 함께 나온다.

출제 이력: 제135회 1교시 10번, 제110회 2교시 4번, 제89회 2교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

연속교통류에서 교통량, 속도, 밀도 사이의 관계를 나타내는 기본 관계로, 교통량은 밀도와 속도의 곱으로 정의된다.

교통류 상태는 세 변수로 표현된다. 세 변수는 서로 얽혀 있어 두 변수를 알면 나머지 하나가 정해진다. 교통량은 도로의 처리 능력을, 속도는 서비스의 질을, 밀도는 혼잡 정도를 나타낸다. 아래 용어는 이 관계를 설명할 때 답안에 그대로 써야 하는 핵심어다.

• 교통량(q): 단위 시간에 도로의 한 지점을 통과하는 차량 수다. 단위는 대/시를 쓴다.
• 속도(u): 차량이 이동한 거리를 시간으로 나눈 값이다. 연속교통류에서는 공간평균속도를 쓴다.
• 밀도(k): 단위 길이의 도로에 있는 차량 수다. 단위는 대/km를 쓴다.
• 기본도(Fundamental Diagram): 세 변수 중 두 변수의 관계를 그래프로 나타낸 것이다.
• 자유류 속도: 밀도가 낮아 차량이 서로 방해받지 않고 달릴 때의 속도다.
• 임계밀도: 교통량이 최대가 되는 밀도다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 풀면, 도로가 한산할 때는 차가 빠르게 달리고 지나가는 차 수도 늘어난다. 차가 더 몰리면 처음에는 교통량이 계속 늘지만, 어느 순간부터는 차끼리 방해하여 속도가 떨어지고 교통량도 줄어든다. 이 세 변수가 함께 움직이는 규칙을 하나의 틀로 정리한 것이 교통량-속도-밀도 관계다.

정식으로 말하면 연속교통류에서 교통량은 밀도와 공간평균속도의 곱이다. 이를 기본 관계식이라 하며 q = k × u 로 쓴다. 단위는 (대/km) × (km/h) = 대/h로 맞아떨어진다. 공간평균속도는 일정 구간 안에 있는 차량들의 속도를 평균한 값이다. 특정 지점을 지나는 차량들의 시간평균속도와 구분해 쓴다. 기본 관계식은 공간평균속도에서 성립하므로 답안에도 이 속도를 명시한다.

속도와 밀도의 관계는 밀도가 커질수록 속도가 줄어드는 것이다. 가장 널리 쓰이는 Greenshields 모형은 이 관계를 직선으로 가정한다. 식은 다음과 같다.

$u = u_f(1 - k/k_j)$

여기서 u_f는 자유류 속도, k_j는 차량이 꽉 차 정지한 상태의 정지밀도(Jam Density)다. 이 식을 기본 관계식에 대입하면 q = u_f k (1 - k/k_j) 가 된다. 교통량과 밀도의 관계는 위로 볼록한 포물선이다. 포물선의 꼭짓점이 최대 교통량이며, 이때의 밀도가 임계밀도다.

기본도는 임계밀도를 기준으로 두 영역으로 나뉜다. 비혼잡 영역은 밀도가 임계밀도보다 낮은 구간으로, 밀도가 늘면 교통량도 늘고 속도는 자유류 속도 가까이에서 완만하게 줄어든다. 혼잡 영역은 임계밀도를 넘는 구간으로, 밀도가 늘면 속도가 급하게 떨어지고 교통량도 감소한다.

혼잡 영역에서는 밀도가 늘수록 속도와 교통량이 함께 줄어든다.

속도 하나만으로는 교통 상태를 판단하기 어렵다. 같은 속도라도 밀도에 따라 교통량이 다르기 때문이다. 세 변수를 함께 봐야 도로가 여유 상태인지 포화 상태인지 구분된다. 자유류 상태에서는 운전자가 원하는 속도로 주행하므로 속도가 거의 일정하다.

3. 등장 배경과 필요성

교통류 이론의 초기에는 차량을 개별 입자로 보고 대기행렬 방식으로 분석했다. 그러나 도로 전체의 교통 상태를 다루려면 개별 차량의 움직임보다 평균적인 흐름을 파악하는 것이 더 실용적이었다. 그래서 교통류를 유체처럼 다루는 거시적 모형이 발달했고, 그 출발점이 교통량-속도-밀도 관계다.

미시적 모형은 차량 하나하나의 추종과 차로 변경 행태를 다루고, 거시적 모형은 이를 평균해 도로 단위의 관계로 바꾼다. 교통량-속도-밀도 관계는 이 거시적 모형의 기본 틀이다. 거시적 결과는 개별 행태의 집합으로 해석되므로 두 모형은 서로 모순되지 않는다.

도로 설계와 용량 산정이 가장 직접적인 필요성이다. 도로가 처리할 수 있는 최대 교통량을 알아야 차로 수와 서비스 수준을 정할 수 있고, 그 최대치가 기본도의 꼭짓점에서 나온다.