2층 전단빌딩 자유진동 응답

전단빌딩이란

2층 전단빌딩의 자유진동 응답은 층 횡변위의 시간 응답이다.

각 층 슬래브는 강체로 보고, 자유도는 층별 횡변위 u1, u2 두 개다.

기둥의 휨강성이 층 횡력에 저항하는 골조 모델이다.

운동방정식

두 층 건물의 자유진동은 질량행렬과 강성행렬로 쓴 운동방정식으로 나타낸다.

질량행렬 M 은 층 질량 m1, m2 를 대각에 놓는다.

강성행렬 K 는 k1+k2, -k2, k2 로 배열된다.

우변이 0이므로 외력 없는 자유진동이다.

층 강성

층 강성은 같은 층 기둥들의 횡강성을 합한 값이다.

양단 고정 기둥 하나의 횡강성은 12EI/h³ 이다.

그래서 층 강성은 기둥 휨강성 EI와 층고 h로 결정된다.

고유치 해석

균등 예제에서 질량과 강성을 층마다 같게 두고 고유치를 구한다.

행렬식을 전개하면 ω² 에 대한 이차방정식이 된다.

그 근은 ω1 은 0.618√(k/m), ω2 는 1.618√(k/m) 이다.

2차 고유진동수가 1차보다 크다는 점으로 결과를 확인한다.

모드형상

1차 모드는 두 층이 같은 방향으로 움직인다.

2차 모드는 두 층이 반대 방향으로 움직이며 층간 변위가 크다.

모드 직교성 덕분에 연성 방정식이 독립된 1자유도 식으로 분리된다.

모드 중첩

앞 문제의 정답은 반대 방향이다.

모드 중첩법은 모드별 응답을 더하고, 초기조건으로 계수를 정한다.

각 모드는 독립된 1자유도 식이므로 모드별 초기조건을 모드좌표로 변환한다.

모드 질량은 M_n = φ_n^T M φ_n 으로 구하며 정규화 여부를 확인한다.

정리와 흔한 감점

정리하면 운동방정식의 고유치 해로 고유진동수와 모드형상을 구한다.

그다음 모드 중첩으로 응답을 쓰고 초기조건으로 계수를 정한다.

흔한 감점은 초기조건을 적용하지 않고 일반해만 쓰는 것이다.

정답은 0이다. 초기속도가 0이면 B_n 은 0이 된다.