고유진동수·모드형상

고유진동수와 모드형상

고유진동수는 구조물이 외력 없이 자유진동할 때 나타나는 고유한 진동수다.

그 진동수에서 각 점이 가지는 상대적 변위 분포가 모드형상이다.

흔들리는 빠르기가 고유진동수이고, 흔들리는 모양이 모드형상이다.

질량이 크면 천천히, 강성이 크면 빠르게 흔들린다.

운동방정식과 고유치 문제

외력이 없는 비감쇠 운동방정식은 질량행렬과 강성행렬로 세운다.

조화해를 대입하면 (K-ω²M)φ=0이 된다.

자명해가 아닌 해를 가지려면 행렬식이 0이어야 한다. 이것이 고유치 문제다.

고유진동수는 f = ω/2π이고, 주기는 T = 1/f이다.

자유도가 n개면 고유진동수도 n개가 나온다.

모드형상과 정규화

모드형상은 특정 고유진동수에 대응하는 고유벡터다.

절대 크기가 아니라 질점 사이의 상대 비율이 의미를 가진다.

정규화 조건은 질량행렬 기준으로 φᵀMφ = 1이다.

서로 다른 모드는 질량 직교 조건을 만족한다.

이 직교성은 모드 중첩법의 근거다.

1자유도와 다자유도 비교

1자유도계는 좌표가 하나이므로 고유진동수도 하나다.

다자유도계는 좌표 수만큼 고유진동수와 모드형상이 나온다.

1자유도는 ω = √(k/m)으로 바로 구한다.

다자유도는 고유치 문제를 풀어 고유진동수와 고유벡터를 함께 얻는다.

지점 조건과 손상의 영향

앞 문제 정답은 커진다. 강성이 커지면 고유진동수도 커진다.

기둥이 힌지로 바뀌면 그 단부의 강성이 줄어든다.

지점 조건에 따라 같은 기둥이라도 횡강성이 달라진다.

같은 질량이라도 단부 구속이 강해질수록 고유진동수가 커진다.

정리

정리하자. 고유진동수는 질량과 강성으로 정해지고 외력의 크기와 무관하다.

1자유도는 ω = √(k/m)으로, 다자유도는 고유치 문제로 구한다.

모드형상은 정규화해 상대 비율로 해석한다.

지점 조건이 횡강성을 바꾸므로 강성식부터 확인한다.