2층 전단빌딩 자유진동 응답

왜 배우는가: 2층 전단빌딩의 자유진동은 다자유도 구조물의 고유진동수·모드형상과 모드 중첩법의 출발점이다. 지진응답해석과 내진설계의 기본 모델이며, 기술사 시험에서 운동방정식 유도와 응답 계산 문항으로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제136회 3교시 6번, 제124회 3교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

전단빌딩의 자유진동 응답은 각 층 슬래브를 강체로 보고 층 횡변위를 자유도로 하여 운동방정식의 고유진동수와 모드형상으로 구한 시간 응답이다.

핵심 키워드

• 전단빌딩(Shear Building): 슬래브는 강체, 기둥은 양단 고정 휨요소로 보는 다층 골조 모델
• 층 강성(Story Stiffness): 층 전단력과 층간변위의 비, 기둥 휨강성의 합으로 정의
• 고유진동수(Natural Frequency): 자유진동 해의 진동수, 질량행렬과 강성행렬의 고유치 문제에서 구함
• 모드형상(Mode Shape): 각 고유진동수에 대응하는 변위의 상대적 분포
• 모드 중첩법(Mode Superposition Method): 모드별 응답을 합하여 전체 응답을 구하는 방법
• 초기조건(Initial Condition): 시각 t=0 의 변위와 속도로 정해지는 계수
• 감쇠 무시 자유진동: 외력과 감쇠가 없는 조건의 진동

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 층마다 질량이 있고 층마다 기둥이 횡력을 버티는 스프링이 있는 건물을, 한 번 흔든 뒤 놓았을 때 어떻게 움직이는지 계산하는 것이다. 슬래브가 강체이므로 각 층은 좌우 평행이동 한 자유도만 가진다. 2층 건물이면 자유도는 두 개(u1, u2)이다.

정식 정의는 다음과 같다. 전단빌딩은 바닥(슬래브)의 휨강성이 무한대이고 기둥의 축강성과 자중을 무시하며, 각 층의 횡변위가 기둥의 휨에서만 생기는 골조 모델이다. 이 모델에서 n층 건물의 자유진동은 질량행렬 [M]과 강성행렬 [K]에 대한 운동방정식 [M]\{\ddot{u}\}+[K]\{u\}=\{0\} 으로 쓴다.

핵심 용어를 풀이하면 다음과 같다.

층 강성은 1층 기둥들의 횡강성 합이다. 기둥이 양단 고정이면 한 기둥의 횡강성은 12EI/h^3 이고, 층 강성은 그 합이다. 이 값이 층 간 전단 거동을 결정한다.

고유치 문제는 \det([K]-\omega^2[M])=0 을 푸는 것이다. 풀면 고유진동수 \omega_1, \omega_2 가 나온다.

모드형상은 고유치에 대응하는 고유벡터이다. 1차 모드는 모든 층이 같은 방향으로 움직이고, 2차 모드는 층끼리 반대 방향으로 움직이는 형태가 된다.

모드 중첩법은 응답을 모드좌표 q_i(t) 의 선형 결합 \{u\}=\sum \{\phi_i\} q_i(t) 로 놓고, 각 모드를 독립된 1자유도 식으로 풀어 합하는 방법이다. 감쇠가 없을 때 각 모드 응답은 q_i(t)=A_i\cos\omega_i t+B_i\sin\omega_i t 이다.

3. 등장 배경과 필요성

건물을 단자유도로만 보면 층이 여러 개인 실제 건물의 진동을 설명할 수 없다. 층마다 질량과 강성이 있으므로 여러 고유진동수가 생긴다. 지진 때 건물이 흔들리는 형태는 이 고유 모드들의 조합으로 나타난다. 따라서 어느 층이 가장 크게 움직이는지, 어느 진동수가 지반 진동수와 가까워 공진하는지 판단하려면 자유진동 해석이 먼저 필요하다.

전단빌딩 모델은 복잡한 3차원 골조를 층 단위의 질량과 강성으로 줄여 준다. 손으로 계산할 수 있는 수준이므로 설계 초기 검토와 시험 답안에 널리 쓰인다. 다만 슬래브가 강체라는 가정이 깨지는 저층 구조나 비정형 평면에서는 이 모델의 적용 한계를 함께 설명해야 한다.

층 강성은 기둥 휨강성 EI 와 층고 h 로 결정됨. 이 관계가 전단빌딩 해석의 출발식이다.

관련 개념과 함께 공부하면 흐름이 잡힌다. 고유진동수와 모드형상은 이 절의 결과물이고, 감쇠자유진동은 감쇠를 넣었을 때의 확장이다.

4. 구성요소·원리·절차

2층 전단빌딩은 각 층 슬래브를 강체로 보고, 횡하중에 저항하는 요소를 기둥의 횡강성으로만 모델링한다. 자유도는 층별 횡변위 u_1, u_2 두 개이며 기둥의 질량과 감쇠는 무시한다. 그래서 구조물 전체 거동은 질량행렬과 강성행렬로 정해진다.

층강성은 양단 고정 기둥 한 개의 횡강성 12EI/h^3을 같은 층 기둥 수만큼 합산해 구한다. 표의 강성 값은 기둥의 휨강성과 층고 h에서 결정된다. 층 전단력과 층간변위 관계가 강성의 물리적 의미다.

원리는 다음 운동방정식이다.

$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{u}}+\mathbf{K}\mathbf{u}=\mathbf{0}$

$\mathbf{M}=\begin{bmatrix}m_1&0\\0&m_2\end{bmatrix},\quad \mathbf{K}=\begin{bmatrix}k_1+k_2&-k_2\\-k_2&k_2\end{bmatrix}$

\mathbf{u}는 층변위 벡터, \mathbf{M}은 질량행렬, \mathbf{K}는 강성행렬이다. 자유진동 해를 \mathbf{u}=\boldsymbol{\phi}\sin(\omega t+\theta)로 놓으면 고유치 문제가 된다. 고유진동수 \omega와 모드형상 \boldsymbol{\phi}는 다음 식의 해다.

$\det(\mathbf{K}-\omega^2\mathbf{M})=0$

전개하면 다음 2차 방정식이 된다.

$m_1m_2\,\omega^4-\left[m_1k_2+m_2(k_1+k_2)\right]\omega^2+k_1k_2=0$

모드형상은 1층 변위를 1로 놓았을 때 2층 변위비 r=\phi_2/\phi_1=(k_1+k_2-\omega^2m_1)/k_2로 정한다. 두 모드는 모드 직교성 \boldsymbol{\phi}_i^T\mathbf{M}\boldsymbol{\phi}_j=0\,(i\neq j)을 만족한다. 이 성질 때문에 모드 중첩법에서 연성 방정식이 독립된 1자유도 방정식으로 분리된다.

절차는 다음과 같다.

• 층별 질량 m_1, m_2와 층강성 k_1, k_2를 구한다.
• 운동방정식의 \mathbf{M}, \mathbf{K}를 구성한다.
• 고유치 방정식 \det(\mathbf{K}-\omega^2\mathbf{M})=0을 풀어 \omega_1, \omega_2를 구한다.
• 각 \omega_j에 대해 모드형상 \boldsymbol{\phi}_j=[1,\ r_j]^T를 구한다.
• 모드 중첩으로 \mathbf{u}(t)=\sum_j\boldsymbol{\phi}_j(A_j\cos\omega_jt+B_j\sin\omega_jt)를 쓴다.
• 초기조건 \mathbf{u}(0), \dot{\mathbf{u}}(0)로 계수 A_j, B_j를 정한다.

균등 예제로 m_1=m_2=m, k_1=k_2=k를 대입하면 다음과 같다. 대입 결과 \omega^2 식은 m^2\omega^4-3mk\,\omega^2+k^2=0이다. 해는 \omega^2=\frac{3\mp\sqrt5}{2}\frac{k}{m}이다. 따라서 \omega_1=0.618\sqrt{k/m}, \omega_2=1.618\sqrt{k/m}이다. 모드형상은 1차가 [1,\,1.618]^T, 2차가 [1,\,-0.618]^T이다. 결과 확인으로 1차는 두 층이 같은 방향으로, 2차는 반대 방향으로 움직여 상식과 맞는다.

고유진동수와 모드형상은 \mathbf{K}, \mathbf{M}만으로 결정되고 초기조건은 계수 A_j, B_j에만 영향을 준다

5. 관련 법령·기준·표준

그래서 아래 표는 구조동역학 교재의 일반 값과 설계 관행만 담는다. 법령·고시 조항 번호는 확인되지 않아 쓰지 않는다.

표의 강성식은 기둥 횡강성 식에서 바로 나온다. 감쇠비는 문항에서 무시하도록 했으므로 자유진동 해석에서는 값 0으로 둔다. 실무 설계에서 감쇠비를 쓰는 값은 별도로 확인해야 한다. 지진하중 기준과 교량 기준은 이름만 적었고 세부 조항과 개정 연혁은 근거가 없어 쓰지 않았다.