평면응력과 평면변형률

정의

평면응력은 두께 방향 응력이 0인 2차원 응력 상태다.

평면변형률은 길이 방향 변형률이 0인 2차원 변형률 상태다.

두 경우 모두 3차원 문제를 두 좌표만 쓰는 2차원 문제로 줄인다.

적용 대상

얇은 판은 평면응력으로, 축 방향으로 긴 물체는 평면변형률로 해석한다.

전단벽과 판형 보의 웨브는 평면응력, 긴 댐과 터널 단면은 평면변형률이다.

긴 옹벽의 단면은 길이 방향 변형이 구속되므로 평면변형률 가정이 적합하다.

구속 응력 계산

평면변형률에서는 길이 방향 변형이 막혀 두께 방향 응력 σz가 생긴다.

그 값은 σz = ν(σx + σy)로 구하며, ν는 포아송비다.

예를 들어 σx = 100 MPa, σy = 0, ν = 0.3이면 σz는 30 MPa다.

σz가 0이 아니므로 평면응력 가정을 쓰면 안 된다.

헷갈리는 점

가장 흔한 실수는 두 가정을 반대로 적용하는 것이다.

평면변형률에서 σz를 0으로 두면 안 된다. 횡구속 때문에 σz는 0이 아니다.

얇은 판에 평면변형률을 쓰는 것도 틀린다. 두께 방향 자유를 구분해 쓴다.

해석 프로그램에서는 요소 유형으로 두 가정을 명시한다.

정리

정리하자. 얇은 판은 평면응력, 길이가 긴 구조물은 평면변형률이다.

평면변형률의 두께 방향 응력은 σz = ν(σx + σy)로 구한다.

두 가정 모두 3차원 문제를 2차원으로 줄이는 수단이다. 적용 조건을 맞춰 쓴다.