평면응력·평면변형률

왜 배우는가: 평면응력과 평면변형률은 3차원 탄성 문제를 2차원으로 줄여 해석하는 기본 가정이며, 옹벽·댐·터널·긴 기둥 같은 토목구조의 해석 모델 선택을 결정한다. 1교시 용어 문제와 2~4교시 논술 문제에 반복해서 출제되므로 정의, 조건, 응력-변형률 관계를 정확히 구분해 익혀야 한다.

출제 이력: 제137회 2교시 3번, 제123회 1교시 7번, 제111회 3교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

평면응력은 판 두께 방향 응력이 0인 2차원 응력상태, 평면변형률은 길이 방향 변형률이 0인 2차원 변형률상태이다.

• 평면응력(Plane Stress)
• 평면변형률(Plane Strain)
• 면내 응력(In-plane Stress)
• 구속 조건(Constraint)
• 2차원 해석(Two-dimensional Analysis)
• 포아송비(Poisson's Ratio)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 얇은 판은 두께 방향으로 힘을 거의 받지 않고, 긴 물체는 길이 방향으로 늘어나거나 줄어들지 못하도록 주변 재료가 붙잡고 있다. 이 두 경우를 각각 평면응력과 평면변형률이라 부른다.

정식 정의는 다음과 같다. 평면응력은 한 방향(보통 z방향)의 응력 성분이 0인 상태이며, 그 방향의 변형률은 0이 아니다. 평면변형률은 한 방향(보통 z방향)의 변형률 성분이 0인 상태이며, 그 방향의 응력은 0이 아니다. 두 경우 모두 나머지 두 방향(x, y)의 성분만으로 문제를 풀기 때문에 3차원 문제가 2차원 문제로 축소된다.

평면응력은 얇은 판에 면내 하중이 작용할 때 쓴다. 두께가 작아 두께 방향 응력이 자유표면에서 0이 된다고 본다. 예로 얇은 전단벽, 얇은 판형 보의 웨브가 있다.

평면변형률은 길이가 매우 긴 물체를 단면 방향으로 해석할 때 쓴다. 길이 방향 변형이 주변 재료에 의해 구속되므로 길이 방향 변형률을 0으로 둔다. 예로 긴 댐, 터널 라이닝, 긴 옹벽 단면이 있다.

두 가정은 단순화 수단이다. 해석 결과가 정확하도록 적용 조건을 맞춰야 하며, 어느 쪽이 계산을 단순하게 하는지에 따라 선택하기도 한다.

3. 등장 배경과 필요성

3차원 탄성 문제는 응력과 변형률 성분이 각각 6개씩이어서 미분방정식 풀이가 매우 어렵다. 구조물 대부분은 한 방향 치수가 다른 방향보다 훨씬 크거나 작으므로, 3차원 해를 직접 구하지 않아도 충분한 정확도를 얻을 수 있다. 이 필요에서 평면응력과 평면변형률이 도입되었다.

토목구조에서는 댐, 옹벽, 터널처럼 단면이 일정하고 길이가 긴 구조물을 단면 단위로 해석하는 경우가 많다. 이때 길이 방향 변형이 구속되므로 평면변형률 가정이 적합하다. 반면 얇은 콘크리트 벽판이나 강판 구조는 두께 방향 응력이 무시되므로 평면응力 가정이 쓰인다. 해석 목적에 따라 두 모델을 구분해 쓰는 능력이 설계자에게 요구된다.

평면응력과 평면변형률은 수치해석과 유한요소해석에서도 기본 요소 모델로 쓰인다. 요소 형식을 정할 때 두께 방향 응력이 0인지, 길이 방向 변형률이 0인지 확인하는 과정이 필요하다.

4. 구성요소·원리·절차

평면응력(Plane Stress)과 평면변형률(Plane Strain)은 3차원 문제를 2차원으로 줄이는 두 가지 가정이다. 두 가정은 구조 형상과 하중 방향이 어디에 해당하는지에 따라 선택한다. 구성요소를 먼저 정리하면 다음과 같다.