구조물 최적설계

최적설계란

구조물 최적설계는 설계변수를 조정해 목적함수를 최소화하는 과정이다.

이때 모든 제약조건을 만족하는 설계안을 찾아야 한다.

핵심 키워드는 설계변수, 목적함수, 제약조건이다.

세 가지 구성요소

구조물 최적설계는 세 가지 요소로 구성된다.

설계변수는 설계자가 바꿀 수 있는 값이다. 판 두께와 단면 치수가 여기에 해당한다.

목적함수는 최소화하거나 최대화할 대상이고, 중량과 공사비가 자주 쓰인다.

제약조건은 응력, 처짐, 좌굴처럼 설계가 넘지 말아야 할 한계다.

표준형

최적설계 문제는 표준형으로 나타낸다.

목적함수 f(x)를 최소화하면서 부등식과 등식 제약을 모두 만족하는 x를 구한다.

부등식 제약은 g(x) ≤ 0 형태로 통일하고, 등식 제약은 h(x) = 0으로 둔다.

최대화 문제는 음수를 곱해 최소화 문제로 바꾼다.

계산 예제

계산 예제로 목적함수는 단면 면적, 설계변수는 높이로 둔다.

모멘트는 250kN·m이고, 응력 제약에서 높이의 최소값을 구한다.

응력 제약 식을 정리하면 높이 제곱의 하한 0.03125m²가 나온다.

그 결과 높이는 약 0.177m, 면적은 약 0.053m²가 된다.

실제 교량은 처짐과 피로 제약이 더해져 이보다 큰 단면이 된다.

고장력강과 제약 지배

고장력강은 항복강도를 높이면 단면 중량이 줄어든다.

지간 30m 단순교에서 항복강도가 500MPa를 넘으면 피로한계상태가 단면을 지배한다.

이 경우 강도를 더 높여도 중량은 줄지 않는다.

그래서 강도 제약뿐 아니라 피로 제약도 함께 넣어야 한다.

직접 풀기와 정리

이제 배운 내용을 직접 적용해 보자.

강재 중량처럼 줄이려는 값은 어떤 요소인지 생각해 보자.

정답은 목적함수다. 중량은 줄이는 대상이므로 목적함수에 둔다.

설계변수는 바꾸는 값, 제약조건은 넘지 말아야 할 한계다. 세 요소를 식으로 정리하면 정식화가 된다.