응답스펙트럼

정의

응답스펙트럼은 단자유도계의 최대응답을 고유주기의 함수로 나타낸 그래프다.

지진이 왔을 때 주기가 다른 구조물이 얼마나 세게 흔들리는지 한눈에 보여 준다.

주기마다 최댓값을 찍어 이은 곡선이 바로 응답스펙트럼이다.

단자유도계와 운동방정식

단자유도계는 질량, 스프링, 댐퍼로 된 가상의 진동계다.

여기에 지반가속도가 입력되면 계의 운동은 아래 운동방정식으로 나타낸다.

m은 질량, c는 감쇠계수, k는 강성, u는 상대변위다. 이 식을 시간별로 푼다.

고유주기와 공진

고유원진동수는 √(k/m)이고, 고유주기는 2π를 그것으로 나눈 값이다.

구조물의 고유주기가 지반의 탁월주기와 가까우면 공진이 일어난다.

공진이 일어나면 응답이 커진다. 그래서 주기별 응답을 미리 계산해 둔다.

설계자는 시간이력을 직접 풀지 않고도 고유주기에 해당하는 값을 읽어 쓴다.

계산 예제

앞 문제의 답은 1/2배다. ω가 2배가 되어 고유주기는 절반이 된다.

계산 예제로 질량 1,000 kg, 강성 4.0×10⁵ N/m인 단자유도계를 보자.

고유원진동수는 √(k/m)이므로 20 rad/s다. 고유주기는 약 0.314초다.

설계 스펙트럼가속도 0.25g는 9.81을 곱해 2.45 m/s²로 환산한다.

밑면 전단력은 질량에 스펙트럼가속도를 곱해 2,450 N, 약 2.45 kN이다.

주기 구간과 감쇠

스펙트럼 형상은 주기 영역에 따라 단주기, 중간 주기, 장주기로 나뉜다.

단주기 구간은 지반증폭계수에 따라 올라가고, 중간 주기는 가속도가 일정하다.

장주기 구간은 점차 감소하며 고층 건물과 장대교량에 영향을 준다.

감쇠가 클수록 응답은 줄고 굴곡은 완만해진다. 표준은 5% 감쇠비 기준이다.

이 주기 구간별 형상은 지반 조건과 함께 해석해야 한다.

헷갈리는 점과 정리

앞 문제의 답은 감소다. 감쇠가 클수록 응답은 줄어든다.

가장 흔한 실수는 응답스펙트럼을 지반 가속도 그 자체로 오해하는 것이다.

응답스펙트럼해석은 위상 정보가 빠져 시간이력해석과 결과가 다를 수 있다.

표준설계응답스펙트럼은 5% 감쇠비 기준이며, 토사지반은 지반증폭계수로 형상을 정한다.

정리하면 응답스펙트럼은 주기별 최대응답 곡선이며 내진설계의 입력 기준이다.