응답스펙트럼

왜 배우는가: 응답스펙트럼은 지진하중을 구조물 고유주기와 감쇠비에 따라 산정하는 내진설계의 기본 도구이다. 설계기준의 표준설계응답스펙트럼과 응답스펙트럼해석이 모두 이 개념에 기반하므로 실무와 기술사 시험에서 반복해 출제된다.

출제 이력: 제66회 1교시 7번, 제63회 1교시 9번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 응답스펙트럼은 지반운동에 대한 단자유도계의 최대응답을 고유주기 또는 고유진동수의 함수로 나타낸 그래프이다.

• 응답스펙트럼(Response Spectrum)
• 단자유도계(Single Degree of Freedom, SDOF)
• 고유주기(Natural Period)
• 감쇠비(Damping Ratio)
• 스펙트럼가속도(Spectral Acceleration, Sa)
• 탁월주기(Dominant Period)
• 표준설계응답스펙트럼(Standard Design Response Spectrum)
• 지반증폭계수(Site Amplification Factor)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 지진이 왔을 때 주기가 다른 여러 건물이 얼마나 세게 흔들리는지를 주기별로 한눈에 보여 주는 그래프이다. 각 주기의 단자유도계(한 개의 질량과 스프링, 댐퍼로 된 가상의 진동계)를 지진파로 흔들어 보고, 응답의 최댓값을 주기마다 찍어 연결한다.

정식 정의는 다음과 같다. 응답스펙트럼은 지반운동에 대한 단자유도 시스템의 최대응답을 고유주기 또는 고유진동수의 함수로 표현한 스펙트럼이다(KDS 17 10 00 용어 정의). 여기서 최대응답(Peak Response)은 응답 절댓값의 최댓값을 뜻한다.

원리는 공진에 있다. 구조물의 고유주기와 지진파의 우세 주기가 가까우면 응답이 커진다. 응답스펙트럼은 이 관계를 모든 주기에 대해 미리 계산해 둔 것이다. 그래서 설계자는 시간이력을 직접 풀지 않고도 구조물의 고유주기에 해당하는 값을 읽어 설계지진력을 구할 수 있다.

스펙트럼 형상에는 특징이 있다. 주기가 증가하면 가속도 응답은 처음에 증가해 최댓값에 도달한 뒤 감소한다. 감쇠가 클수록 응답은 줄고 굴곡은 완만해진다. 건물 설계에서는 보통 5% 감쇠비를 기준으로 한다.

탁월주기(Dominant Period)는 지진파의 주기 성분 중 진폭이나 빈도가 가장 두드러진 주기이다. 탁월주기 근처에서 응답스펙트럼의 봉우리가 나타난다.

3. 등장 배경과 필요성

지진은 불규칙한 파형이라 한 가지 주기로 설명할 수 없다. 1930년대 이후 지진계 기록이 쌓이면서 지반운동의 주파수 성분과 구조물 응답의 관계를 정량화할 필요가 생겼다. 응답스펙트럼은 이 필요를 채우기 위해 고안되었다. 여러 지진 기록의 스펙트럼을 분석하면 개략적으로 공통된 형상이 있다는 사실이 확인되었고, 이것이 표준설계응답스펙트럼의 출발점이 되었다.

현행 설계에서는 실제 지진 기록 대신 표준설계응답스펙트럼을 쓴다. 암반지반은 S1 지반 기준 형상을, 토사지반은 지반증폭계수를 곱한 형상을 쓴다. 이렇게 해야 지진구역과 지반 조건에 따라 설계지진력을 일관되게 정할 수 있다. 따라서 응답스펙트럼은 내진설계의 입력 기준이자 응답스펙트럼해석법의 기초가 된다.

4. 구성요소·원리·절차

응답스펙트럼(Response Spectrum)은 지반운동을 받는 단자유도 시스템(Single Degree of Freedom, SDOF)의 최대응답을 고유주기의 함수로 나타낸 그래프다. 응답스펙트럼은 단자유도 시스템의 최대응답을 고유주기의 함수로 표현한 것이다. 구성요소는 지반운동 입력, 감쇠를 가진 단자유도 모델, 최대응답 추출의 세 가지다.

표에서 보듯 감쇠는 응답을 낮추는 요소다. 응답의 크기는 주기마다 다르므로 주기 축을 따라 연속된 곡선으로 그린다.

원리는 다음과 같다. 구조물의 고유주기가 지반의 탁월주기(Dominant Period)와 가까우면 공진(Resonance)이 일어나 응답이 커진다. 고유주기가 길어지면 가속도 응답은 처음 증가하다가 점차 줄어든다. 단자유도 시스템의 운동방정식은 다음과 같다.

$m\ddot{u}+c\dot{u}+ku=-m\ddot{u}_g$

m: 질량(kg), c: 감쇠계수(N·s/m), k: 강성(N/m), u: 상대변위(m), \ddot{u}_g: 지반가속도(m/s²).

고유원진동수와 고유주기는 다음 식으로 구한다.

$\omega_n=\sqrt{k/m},\quad T=\frac{2\pi}{\omega_n}$

\omega_n: 고유원진동수(rad/s), T: 고유주기(s). 스펙트럼 가속도와 최대상대변위 S_d의 관계는 감쇠와 주기에 따라 달라진다.

작성 절차는 다음과 같다.

• 기반암 설계지반운동 시간이력 또는 표준설계응답스펙트럼을 정한다.
• 일정 간격의 고유주기 T 값을 정하고 감쇠비를 5% 로 둔다.
• 각 T 에 대해 단자유도 시스템의 운동방정식을 시간이력으로 푼다.
• 주기별 최대응답의 절댓값을 구한다.
• 최대응답을 T 축에 표시해 곡선을 얻는다.
• 설계에는 감쇠비가 다를 때 감쇠보정계수를 곱해 형상을 맞춘다.

설계에서는 실측 시간이력을 직접 쓰기보다 표준설계응답스펙트럼을 기준으로 삼는다. 시간이력은 이 스펙트럼에 맞춰 보정한다. 응답스펙트럼해석은 위상 정보가 빠지므로 직접 시간이력해석과 결과가 다를 수 있다.

5. 관련 법령·기준·표준

응답스펙트럼의 기준은 KDS 17 10 00(내진설계 일반)이 정한다. 이 기준은 「건설산업기본법」 제2조제4호의 건설공사에 적용하며, 근거 법률은 「지진·화산재해대책법」과 그 시행령이다. 기반암은 전단파속도가 760m/s 이상인 지층으로 정의한다. 지반 분류에서 토층 평균 전단파속도가 120m/s 이하이면 기반암 깊이와 무관하게 연약 지반으로 분류한다.

표준설계응답스펙트럼은 5% 감쇠비의 단자유도 시스템을 기준으로 정의한다. 수직 응답은 수평 형상과 같고, 최대 수직 가속도는 수평의 0.77 배로 본다. 감쇠비가 다르면 감쇠보정계수를 곱하며, 감쇠비가 0.5% 미만이면 이 보정을 적용하지 않는다.

표의 값은 모두 원문 조항 번호에 따라 기술한다. 표준설계스펙트럼의 형상 계수와 감쇠보정계수는 기준 표에 따라 확인한다. 문서 머리말의 2024-03-27은 해당 문서의 마지막 개정일이다.

수직·수평 설계지반운동 구분, 지반 종류별 증폭계수, 단주기·장주기 전이 구간의 통제주기 기호와 기준값은 해당 표에 따라 확인한다.

6. 유형과 비교

응답스펙트럼은 해석 방법과 설계 방식에 따라 여러 형태로 나뉜다. 가장 먼저 구분할 것은 탄성응답스펙트럼과 설계응답스펙트럼이다. 탄성응답스펙트럼은 지진기록에서 직접 구한 최대응답 곡선이고, 설계응답스펙트럼은 설계용으로 단순화해 정한 곡선이다.