보의 강성행렬

정의

보의 강성행렬은 단부 모멘트와 단부 회전각의 관계를 나타내는 행렬이다.

단부 모멘트 벡터를 M, 단부 회전각 벡터를 θ라 할 때 M은 K와 θ의 곱 형태다.

답안 첫머리에 부호 규약을 밝혀야 한다. 규약이 없으면 부호가 틀린 것으로 채점될 수 있다.

원리

강성행렬과 짝을 이루는 것은 유연도행렬이다.

힘을 주고 변위를 구할 때는 유연도행렬을, 변위를 주고 힘을 구할 때는 강성행렬을 쓴다.

두 행렬은 서로 역행렬 관계이므로 K는 F의 역행렬이다.

예제

예제로 단순보 양단의 모멘트와 회전각 관계를 강성행렬로 나타내 보자.

계수는 대각 4EI/L, 비대각 2EI/L이며 행렬은 대칭이다.

단위를 확인하면 EI/L은 N·m이고 회전각은 rad이므로 모멘트 단위와 맞는다.

대각 성분이 비대각보다 큰 것은 자기 단의 회전이 더 큰 모멘트를 만든다는 뜻이다.

조립 절차

직접강성법은 요소 강성행렬을 먼저 만들고 전역 좌표계로 변환한다.

이후 자유도 번호에 맞춰 더하여 전체 강성행렬을 조립한다.

지지된 자유도를 제거하고 연립방정식을 풀어 변위를 구한다.

요소 종류

강성행렬은 요소 종류에 따라 자유도 수와 행렬 크기가 달라진다.

축변형과 전단변형을 무시한다는 조건이 붙으면 Euler–Bernoulli 보 요소의 4×4 행렬을 쓴다.

조건이 없으면 평면 뼈대 요소의 6×6 행렬로 확장해야 한다는 점을 답안에 밝힌다.

흔한 실수는 부호 규약 혼동, 고정단 모멘트 항 누락, 전개 과정 생략이다.

정리

보의 강성행렬은 단부 모멘트와 회전각을 잇는 대칭행렬이다.

조립은 요소, 좌표 변환, 조립, 경계조건 순서로 진행한다.

답안에는 가정과 자유도를 먼저 밝히는 것이 핵심이다.