보의 강성행렬

왜 배우는가: 보 요소의 강성행렬은 연속보와 골조 해석의 출발점이다. 실무에서는 부재 단부 모멘트와 회전각을 계산하는 기본식으로 쓰인다. 시험에서는 단순보 유도와 골조 강성행렬 구성 문제의 기초가 된다.

출제 이력: 제119회 4교시 1번, 제63회 4교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

보의 강성행렬은 단부 모멘트와 단부 회전각의 관계를 M = K·θ 형태로 나타내는 행렬이다.

답안 첫 줄에는 위 정의를 쓰고, 이어서 부호 규약(양 끝 반시계 방향을 정(+)으로 봄)을 밝힌다. 부호 규약이 없으면 성분의 부호가 틀린 것으로 채점될 수 있다.

• 단부 모멘트: 보 양 끝에 작용하는 휨모멘트 벡터이며 힘 성분에 해당한다.
• 단부 회전각: 보 양 끝 단면이 돌아간 각도로 변위 성분에 해당한다.
• 휨강성: 탄성계수 E와 단면 2차 모멘트 I의 곱 EI이다.
• 강성계수: 한 자유도에 단위 변위를 주고 나머지를 고정했을 때 필요한 힘이다.
• 유연도행렬: 힘을 주었을 때 변위가 얼마나 생기는지 나타내는 행렬이다.
• 처짐각법: 절점 회전각을 미지수로 두고 부재 단부 관계식을 세우는 해석법이다.
• 직접강성법: 요소 강성행렬을 전체 행렬로 합성하는 해석 절차이다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 말하면, 보의 양 끝을 얼마나 돌리려면 얼마나 큰 모멘트를 걸어야 하는지를 행렬 한 장으로 정리한 것이다. 보가 길수록, 휨강성이 작을수록 같은 모멘트에 더 크게 돌아간다. 이 관계를 행렬로 쓰면 여러 부재의 식을 한꺼번에 다룰 수 있다.

정식 정의는 다음과 같다. 보 요소의 단부 회전 벡터 {θ}와 단부 모멘트 벡터 {M}이 있을 때, 둘을 잇는 행렬 [K]를 강성행렬이라 한다. 성분 k_ij는 j번째 자유도에 단위 변위를 주고 나머지는 0으로 둔 상태에서 i번째 자유도에 생기는 힘이다. 이 성분을 강성계수라 부른다.

강성행렬과 짝을 이루는 개념이 유연도행렬이다. 힘을 주고 변위를 구하는 방법은 유연도행렬 [F]를 쓰고, 변위를 주고 힘을 구하는 방법은 강성행렬 [K]를 쓴다. 두 행렬은 서로 역행렬 관계이므로 [K] = [F]^(-1)이다.

원리를 보자. 단순보 양단에 모멘트만 작용하면 양 끝의 처짐은 0이다. 굽힘 모멘트는 길이 방향으로 직선으로 변하고, 곡률은 κ = M/EI이다. 이 곡률을 두 번 적분하고 처짐 경계조건을 대입하면 양 끝 회전각이 구해진다.

$\{\theta\}=[F]\{M\}$

여기서 L은 부재 길이, E는 탄성계수, I는 단면 2차 모멘트다. 이를 행렬로 쓰면 유연도행렬은 다음과 같다.

$[F]=\begin{bmatrix}f_{11}&f_{12}\\f_{21}&f_{22}\end{bmatrix}$

이 행렬의 역행렬을 취하면 강성행렬이 된다. 역행렬 계산 결과는 다음과 같다.

$[K]=[F]^{-1}$

이 행렬의 성분은 각 자유도 간 모멘트와 회전의 관계를 나타낸다.

검산을 한다. M_1 = M, M_2 = 0을 유연도식에 넣으면 회전각이 구해진다. 이를 강성식에 넣으면 원래 하중과 일치한다.

이 2×2 행렬은 단부 처짐을 0으로 구속한 단순보 조건이다. 횡변위까지 자유도로 두면 보 요소는 4×4 행렬이 된다. 횡변위 자유도를 정적으로 축약하면 이에 맞는 축약 행렬을 얻는다. 골조 전체의 합성 절차는 4절에서 다룬다.

3. 등장 배경과 필요성

보 해석의 기초는 Euler–Bernoulli 보 이론이다. 이 이론은 1750년경 처음 제시됐다. 19세기 후반 에펠탑과 관람차 같은 대형 구조물에 대규모로 적용되면서 설계의 기본 도구가 됐다. 이 이론은 작은 처짐, 탄성 휨, 횡하중만 받는 보를 가정한다. 단면은 굽힘 후에도 평면을 유지한다고 보고, 휨 모멘트와 곡률을 EI로 연결한다.

수기 계산 시대에는 처짐각법이나 3연 모멘트법처럼 부재마다 단부 관계식을 따로 세워 풀었다. 부재와 절점이 늘어나면 식의 수가 급격히 많아져 계산이 어려워진다. 강성행렬은 이 관계를 같은 형식으로 정리해, 여러 부재를 같은 절차로 합성할 수 있게 한다. 컴퓨터 보급 이후 직접강성법의 기초가 되면서 구조해석의 표준 방법으로 자리 잡았다.

필요성은 부정정 구조에서 더 분명하다. 연속보와 골조에서는 단부 모멘트가 미지수가 된다. 강성행렬을 쓰면 이 미지수를 행렬 연산으로 한 번에 구할 수 있다. 다만 이 식은 전단변형을 무시하는 가정에 기초한다. 짧고 두꺼운 보에서는 전단 변형 영향이 커지므로 그때는 Timoshenko 보 이론이 필요하다.

4. 구성요소·원리·절차

보의 강성행렬(Stiffness matrix of beam)은 부재 끝의 변위(처짐·회전)와 끝단력(전단력·모멘트)을 연결하는 행렬이다. 직접강성법에서는 요소 강성행렬을 먼저 만든 뒤 전역 좌표계에서 조립한다. 휨만 고려하는 보 요소의 기본 자유도는 끝단 회전각과 끝단 모멘트이다.

원리는 다음과 같다. 오일러-베르누이 보 이론에서 곡률은 모멘트에 비례하고 처짐곡선의 2차 도함수로 정의된다. 이 관계를 양 끝 경계조건과 함께 적분하면 끝단 회전각과 끝단 모멘트의 관계가 얻어진다. 단순보 양단에 모멘트만 작용하는 경우 유연도 행렬은 다음과 같다.

$\{\theta\}=[F]\{M\}$

여기서 E는 탄성계수(N/m²), I는 단면 2차 모멘트(m⁴), L은 부재 길이(m)이다. 유연도 행렬의 역행렬을 취하면 강성행렬이 된다. 따라서 다음 식이 나온다.

$\{M\}=[K]\{\theta\}$

이 식은 {M}_{2×1} = [K]_{2×2}{θ}_{2×1} 형태이며, 계수는 부재 조건에 따라 정해진다. 강성행렬은 대칭이므로 계수 하나만 알면 나머지는 대칭으로 얻는다.

강성행렬 조립 절차는 다음과 같다.

• 요소별로 국부좌표계의 강성행렬 [k]e를 구한다.
• 부재 방향에 따라 국부좌표계를 전역좌표계로 변환한다.
• 요소 자유도를 전역 자유도 번호에 대응시켜 확장 행렬을 만든다.
• 확장된 요소 행렬을 모두 더해 전역 강성행렬 [K]를 만든다.
• 지점 조건으로 고정된 자유도를 제거하고 {F}=[K]{u}를 푼다.

전역 강성행렬은 변위 적합과 절점 힘 평형을 만족하도록 요소 행렬을 더해 구한다

5. 관련 법령·기준·표준

보의 강성행렬은 법령 조문으로 정해지는 값이 아니다. 구조해석 기준과 교재의 보 요소 공식이 근거가 된다. 국내 구조해석 기준을 해석 방법의 참고로 삼는다. 세부 조항 번호는 확인되지 않아 기재하지 않는다.

기준값 표는 다음과 같다.

표의 값은 부재 길이 L과 휨강성 EI의 조합으로 정해진다. 회전 강성은 부재 길이와 휨강성에 따라 달라진다. 강재의 탄성계수는 설계기준의 표준값을 쓰고, 값과 단위를 함께 적어야 한다.

개정 연혁은 확인되지 않았다. 외국 기준 비교는 이름과 개념 차이만 다룬다. 외국 기준의 구체적인 적용 방식은 해당 기준에서 확인한다.