토리첼리의 정리

정의와 핵심 식

토리첼리 정리는 수조 측면 작은 구멍에서 나오는 유출속도를 구하는 기본 식이다.

구멍에서 나오는 속도는 수면 높이 h에서 자유낙하한 물체의 속도와 같다.

이 식은 베르누이 정리의 특수한 경우라서 동수역학 문제에 반복해서 나온다.

배관, 수문, 댐 방류 설계와 유량 산정의 출발점이 되는 식이다.

유도 원리

토리첼리 정리는 베르누이 방정식에 가정을 넣어 유도한다.

수면과 출구는 모두 대기압이라 압력항이 사라진다. 수면 강하 속도는 무시해 v₁을 0으로 둔다.

남는 것은 위치 에너지 감소분이 전부 운동 에너지 증가분이 된다는 관계다.

결과 v = √(2gh)는 물체가 같은 높이에서 자유낙하해 얻는 속도와 같다.

계산 예시

낙차 20m, 유속계수 0.96, 단면적 5m²를 주고 유출속도와 유량을 구해 보자.

먼저 이론 유속은 v = √(2gh) = √(2×9.8×20) = √392 ≈ 19.8m/s다.

실제 분출속도는 유속계수를 곱한 v = 0.96 × 19.8 ≈ 19.0m/s다.

유량은 Q = vA = 19.0 × 5 ≈ 95m³/s다. 대형 수압관 유량 규모로 상식 범위에 있다.

출구 조건과 적용 한계

토리첼리 식은 출구 조건에 따라 달라진다. 대기 중 자유 유출이 기본형이다.

밀폐 탱크는 수면 위 압력항이 추가되어 단순 식을 그대로 쓸 수 없다.

수압관 출구는 관로 마찰로 손실수두가 생기므로 손실을 반영한 식이 필요하다.

손실수두가 있으면 유효 낙차를 줄여 계산한다.

정리

정리하면 토리첼리 정리는 구멍 유출속도가 자유낙하 속도와 같다는 법칙이다.

실제 유속은 유속계수를 곱하고, 유량은 유출 단면적을 곱해 구한다.

적용할 때는 작은 구멍, 점성 손실 무시, 수면 강하 속도 무시를 함께 쓴다.

앞 문제의 답은 2배다. 낙차가 4배가 되면 속도는 √4 = 2배가 된다.