토리첼리 정리

왜 배우는가: 토리첼리의 정리는 수조 구멍에서 나오는 유속을 낙차로 바로 구하게 해 주는 기본 식이며, 배관·수문·댐 방류 설계와 유량 산정의 출발점이다. 베르누이 정리의 특수한 경우라서 동수역학 문제에 반복해서 나온다.

출제 이력: 제136회 1교시 4번, 제131회 1교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

토리첼리의 정리는 수조 측면 작은 구멍에서 유출되는 유체의 속도가 수면 높이 h에서 자유낙하한 물체의 속도 \sqrt{2gh} 와 같다는 법칙이다.

핵심 키워드

• 토리첼리의 정리(Torricelli's theorem)
• 유출속도(Efflux velocity)
• 수두(Head)
• 베르누이 정리(Bernoulli's principle)
• 연속의 방정식(Continuity equation)
• 유속계수(Coefficient of velocity)
• 수축계수(Coefficient of contraction)
• 작은 구멍(Orifice)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 물통 옆면 아래에 작은 구멍을 뚫으면 물이 뿜어져 나온다. 물의 세기는 물이 얼마나 높이 차 있는지에 따라 정해진다. 물 높이가 높을수록 세게 나온다.

정식 정의는 다음과 같다. 대기 중에 개방된 용기의 측면 하부에 있는 작은 구멍에서 유출되는 비압축성 유체의 속도는, 수면에서 구멍까지의 높이 h만큼 낙하한 물체가 얻는 속도와 같다. 이때 수면 강하 속도는 무시한다.

핵심 용어를 풀면 다음과 같다.

유출속도(Efflux velocity) 는 구멍 출구에서 유체가 빠져나가는 속도 v이다. 단위는 m/s이다.

수두(Head) 는 유체의 단위 중량당 에너지를 높이로 나타낸 값이다. 토리첼리 정리의 h가 바로 이 수두의 높이에 해당한다.

베르누이 정리(Bernoulli's principle) 는 비점성, 비압축성, 정상류에서 유선을 따라 압력수두, 속도수두, 위치수두의 합이 일정하다는 법칙이다. 토리첼리 정리는 이 정리의 특수한 경우다.

작은 구멍(Orifice) 는 구멍 지름이 용기 지름에 비해 충분히 작아 수면 강하 속도를 무시할 수 있는 구멍이다.

3. 등장 배경과 필요성

이탈리아 과학자 에반젤리스타 토리첼리(Evangelista Torricelli)는 1643년경 이 현상을 관찰했다. 1644년에 그의 저서를 통해 이를 발표했다. 당시에는 유체의 에너지 개념이 없었으므로 실험 결과를 정리한 법칙이었다.

이후 베르누이 방정식이 정립되면서 토리첼리 정리는 그 특수한 경우로 해석되었다. 베르누이 정리는 1738년 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli)의 저술에 나타났고, 1755년 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)가 완전한 형태로 유도했다.

실무에서는 저수지 방류구, 수문, 댐 방류, 배관 누수 유량 계산에 쓰인다. 구멍에서 나오는 유속을 알면 유량 Q = C·A·v로 바로 계산할 수 있다. 이 때문에 동수역학 문제에서 기본 식으로 반복 출제된다.

토리첼리 정리를 쓸 때는 적용 조건을 함께 답해야 한다. 구멍이 작아야 하고, 점성 손실을 무시하며, 수면 강하 속도를 무시할 수 있어야 한다. 조건을 빠뜨리면 감점된다.

구멍 지름이 용기 지름보다 충분히 작을 것

4. 구성요소·원리·절차

토리첼리 정리를 적용하려면 먼저 유체가 흐르는 계통을 구성요소로 나누어 본다. 수조(탱크), 작은 구멍(오리피스), 유출 지점이 핵심 구성이다. 각 요소의 역할을 구분해 두면 답안에서 가정과 적용 조건을 빠짐없이 쓸 수 있다.

표의 값은 정리의 가정을 그대로 옮긴 것이다. 구멍이 작아 수면 강하 속도를 무시할 수 있다는 조건이 가장 중요하다. 이 조건이 깨지면 정리를 그대로 쓸 수 없다.

토리첼리 정리의 원리는 베르누이 방정식과 연속의 방정식이다. 비압축성, 비점성, 정상류라고 가정하면 수면과 구멍 출구 사이에서 에너지는 보존된다. 수면은 대기압을 받고 출구도 대기압으로 열려 있으므로 압력항이 소거된다. 남는 것은 위치 에너지가 운동 에너지로 바뀌는 관계다. 이 관계를 위치 에너지 감소분이 전부 운동 에너지 증가분이 된다로 정리하면 답안의 핵심 논리가 된다.

정리 유도 절차는 다음과 같다.

• 수면(단면 1)과 구멍 출구(단면 2)에 베르누이 방정식을 세운다.
• 두 면 모두 대기압이므로 p₁ = p₂ = p₀로 두고 압력항을 소거한다.
• 수면 강하 속도를 무시하여 v₁ ≈ 0으로 둔다.
• 높이 차를 h = h₁ − h₂로 놓고 식을 정리한다.
• 결과 v₂ = √(2gh)를 얻는다.

베르누이 방정식은 다음과 같다.

$\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2$

여기서 p는 압력(Pa), ρ는 밀도(kg/m³), g는 중력가속도(9.81m/s²), v는 유속(m/s), z는 기준면 위 높이(m)다. 최종 식은 다음과 같다.

$v=\sqrt{2gh}$

여기서 v는 분출 속도(m/s), h는 수면에서 구멍까지의 높이 차(m)다. 이때 분출 속도는 물체가 같은 높이에서 자유낙하하여 얻는 속도와 같다. 이것이 토리첼리 정리의 물리적 의미다.

실제 유량은 이론 속도에 유속계수를 곱하고, 유출 단면적을 곱해 구한다.

$Q=C_v\,A\,\sqrt{2gh}$

여기서 Q는 유량(m³/s), C_v는 유속계수(무차원), A는 유출 단면적(m²)이다. 유속계수는 점성과 모서리 형상에 따른 손실을 반영한다.

5. 관련 법령·기준·표준

토리첼리 정리는 법령으로 정해진 기준이 아니라 유체역학의 기본 이론이다. 따라서 조문 대신 적용 조건과 기준 수치를 함께 정리한다. 발송배전 분야에서는 수력발전 수압관로와 수조 설계에서 이 정리를 쓴다. 기준값은 설계 관행과 유체역학 교재에서 널리 쓰는 값이다.

표의 첫 행과 둘째 행은 계산에 직접 쓰는 값이다. 유속계수 0.96은 문제 조건으로 주어진 값이다. 나머지 조건은 정리를 성립시키는 전제다.

개정 연혁과 관련 법령은 이 정리에 직접 해당하지 않는다. 다만 수력 설비 설계는 한국산업표준과 설계 기준을 따른다. 답안에서는 법령 번호를 쓰지 않고 정리의 가정과 수치만 쓴다.

토리첼리 정리는 1643년 에반젤리스타 토리첼리가 발견했다. 이후 베르누이 정리의 특수한 경우로 정리되었다. 이 역사적 사실은 답안의 서론에 한 문장으로 쓸 수 있다.