맥스웰 방정식

맥스웰 방정식이란

맥스웰 방정식은 전기장과 자기장의 발생과 관계를 나타내는 네 개의 식이다.

전기는 전하에서 나오고, 자기는 전류와 변하는 전기장에서 나온다.

이 관계를 수식으로 묶은 것이 맥스웰 방정식이다.

미분형 네 식

먼저 미분형 네 식을 본다. 각 식은 한 점에서의 국소 관계를 나타낸다.

가우스 법칙은 발산이 전하밀도와 같다. 전하가 전기장의 원천이다.

가우스 자기 법칙은 자속밀도의 발산이 0이다. 자기 홀극이 없다는 뜻이다.

패러데이 법칙은 변하는 자기장이 전기장의 회전을 만든다.

앙페르-맥스웰 법칙의 두 번째 항이 변위전류다.

이 변위전류가 있어야 축전기 회로에서도 전류 연속이 성립한다.

변위전류의 도입

맥스웰은 축전기에 앙페르 법칙을 적용할 때 모순이 생기는 것을 발견했다.

전류가 극판 사이로 흐르지 않는데도 자기장 계산이 맞지 않았다.

그래서 변위전류 개념을 도입해 앙페르 법칙을 보완했다.

변위전류는 전속밀도의 시간 변화율이다. 전도전류가 없어도 자기장을 만든다.

이 보완으로 전기장의 시간 변화가 자기장을 만드는 대칭 관계가 완성된다.

전자기파와 빛

진공에서 네 식을 결합하면 전기장과 자기장의 파동 방정식이 나온다.

전파 속도 c는 1/루트(μ0 ε0)로 구한다.

값은 약 3×10^8 m/s 이며, 이는 빛의 속도와 같다.

그래서 맥스웰은 빛을 전자기파로 결론지었다.

전기장과 자기장이 서로를 유도하며 진공 중을 전파하는 것이 전자기파다.

계산 예제

무한장 직선도선의 자계를 앙페르 법칙의 적분형으로 구해 보자.

도선 전류는 10 A, 도선으로부터의 거리는 0.1 m 이다.

대칭성에 의해 H·2πr = I 이므로 H = I/(2πr) 이다.

값을 대입하면 H는 약 15.9 A/m 이다.

자속밀도는 B = μ0 H 이므로 약 20 μT 이다.

약 20 μT 는 지구 자기장과 같은 자릿수라 상식 범위에 맞다.

헷갈리는 점

시험에서 자주 틀리는 부분을 정리한다. 먼저 변위전류부터 구분한다.

변위전류는 전하의 흐름이 아니라 전속밀도의 시간 변화율이다.

전도전류가 없어도 변위전류가 있으면 자기장이 생긴다.

변위전류를 전도전류와 같은 것으로 설명하면 감점된다.

가우스 자기 법칙은 자기 선속이 0이다. 따라서 자기 홀극은 없다.

정리

정리한다. 네 식은 전기장과 자기장이 서로를 만드는 관계를 나타낸다.

변위전류가 대칭성을 완성해 빛이 전자기파의 일종임을 보였다.

시험에서는 정의, 미분형 수식, 변위전류의 의미를 묻는다.