맥스웰 방정식

왜 배우는가: 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장이 서로를 만들어 내는 관계를 네 개의 식으로 묶은 전자기학의 기초이다. 전기기기·전파·통신·고주파 설계의 해석 틀이 되며, 시험에서는 정의, 미분형 수식, 변위전류의 의미를 묻는 문제로 반복해서 나온다.

출제 이력: 제135회 1교시 1번, 제125회 1교시 12번, 제118회 1교시 13번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

맥스웰 방정식은 전기장과 자기장의 발생, 상호 관계, 전하·전류와의 관계를 나타내는 네 개의 편미분 방정식이다.

• 맥스웰 방정식: 전기장·자기장의 발생 원리를 미분형 또는 적분형으로 기술한 네 개의 식
• 가우스 법칙: 전하가 전기장을 만든다는 관계
• 가우스 자기 법칙: 자기 홀극이 없다는 관계
• 패러데이 법칙: 시간에 따라 변하는 자기장이 전기장의 회전을 만든다는 관계
• 앙페르-맥스웰 법칙: 전류와 변위전류가 자기장의 회전을 만든다는 관계
• 변위전류: 전기장의 시간 변화로 생기는 전류 성분
• 전자기파: 전기장과 자기장이 서로를 유도하며 진공 중을 전파하는 파동

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 전기는 전하에서 나오고 자기는 전류와 변하는 전기장에서 나온다. 맥스웰 방정식은 이 관계를 수식으로 묶은 것이다.

정식으로 정의하면, 맥스웰 방정식은 전기장 \vec{E}, 자기장 \vec{H}, 전속밀도 \vec{D}, 자속밀도 \vec{B}, 전류밀도 \vec{J}, 전하밀도 \rho 사이의 관계를 나타내는 편미분 방정식의 집합이다. 현재 교재와 기준서에서 쓰는 형태는 네 개의 식이다.

미분형은 한 점에서의 국소 관계를 나타낸다. 각 식의 좌변은 회전(curl, \nabla\times) 또는 발산(divergence, \nabla\cdot)이며, 우변은 전하·전류 또는 시간 변화율이다.

• \nabla\cdot\vec{D}=\rho (가우스 법칙): 발산은 전하밀도에 비례한다. \rho는 전하밀도[C/m³]이다.
• \nabla\cdot\vec{B}=0 (가우스 자기 법칙): 자속밀도의 발산은 0이다. 자기 홀극이 없다는 뜻이다.
• \nabla\times\vec{E}=-\dfrac{\partial\vec{B}}{\partial t} (패러데이 법칙): 자속밀도의 시간 변화가 전기장의 회전을 만든다. t는 시간[s]이다.
• \nabla\times\vec{H}=\vec{J}+\dfrac{\partial\vec{D}}{\partial t} (앙페르-맥스웰 법칙): 전류밀도 \vec{J}와 변위전류밀도 \partial\vec{D}/\partial t가 자기장의 회전을 만든다. \vec{J}의 단위는 A/m²이다.

위 네 식은 벡터 표기로 쓴 것이며, 맥스웰 본인은 1864년에 여러 개의 식(약 20개 또는 8개로 기술된 형태)으로 제시했다. 이후 헤비사이드가 벡터 표기로 정리하면서 오늘날의 네 식이 되었다. 그래서 오늘날의 네 식을 맥스웰-헤비사이드 방정식이라고도 부른다.

핵심 용어 풀이: 변위전류는 전기 변위 \vec{D}의 시간 변화율 \partial\vec{D}/\partial t이다. 실제 전하의 이동이 없어도 전기장이 변하면 자기장을 만든다. 매질 상수는 진공의 유전율 \varepsilon_0, 투자율 \mu_0로 나타낸다. 진공에서 \vec{D}=\varepsilon_0\vec{E}, \vec{B}=\mu_0\vec{H} 관계가 성립한다.

3. 등장 배경과 필요성

19세기 중반까지 전기와 자기는 서로 다른 법칙으로 따로 연구되었다. 쿨롱 법칙, 비오-사바르 법칙, 앙페르 법칙, 패러데이 법칙이 각각 성립했지만 하나의 체계가 아니었다.

맥스웰은 축전기에 앙페르 법칙을 적용할 때 모순이 생기는 것을 발견했다. 전류가 축전기 극판 사이로 흐르지 않는데도 자기장 계산이 맞지 않았다. 그는 앙페르 법칙이 불완전하다고 판단하고 변위전류 개념을 도입하여 앙페르 법칙을 보완했다.

이 보완으로 전기장의 시간 변화가 자기장을 만든다는 대칭적 관계가 완성되었다. 그 결과 맥스웰은 전기장과 자기장이 결합된 파동 방정식을 유도했고, 전파 속도가 빛의 속도와 같다는 것을 확인했다. 이로부터 빛이 전자기파의 일종이라는 결론이 나왔다.

이 체계는 전파 공학, 통신, 광학, 전기기기 설계의 이론적 토대가 되었다. 특히 건축전기설비에서는 전자파 차폐, 접지 계통의 과도 현상, 고주파 노이즈 해석에서 이 식이 기준이 된다. 또한 상대성 이론이 맥스웰 방정식의 대칭성에서 출발했다는 점에서 현대 물리학의 기반이 되었다.

핵심 요약: 맥스웰 방정식이 필요했던 이유는 전기와 자기를 하나의 일관된 체계로 묶고, 변위전류로 대칭성을 완성해 전자기파의 존재를 예측하기 위해서였다.

4. 구성요소·원리·절차

맥스웰 방정식은 전기장 \vec{E}, 자기장 \vec{H}(또는 \vec{B}), 전속밀도 \vec{D}, 자속밀도 \vec{B}의 관계를 네 개의 편미분 방정식으로 묶은 것이다. 네 식은 각각 가우스 법칙, 가우스 자기 법칙, 패러데이 법칙, 앙페르-맥스웰 법칙이라 부른다. 네 식 중 앞의 두 식은 전하와 자기 홀극의 존재 여부를 말하고, 뒤의 두 식은 시간에 따라 변하는 장이 서로를 만드는 관계를 말한다.

표의 각 항은 장의 종류와 단위를 함께 적어야 채점에서 인정된다. 방정식의 형태는 장의 성질을 그대로 나타낸다. 발산(divergence)은 장의 원천을, 회전(curl)은 장의 소용돌이를 나타낸다.

변위전류 \partial \vec{D}/\partial t가 앙페르 법칙을 시간에 따라 변하는 장까지 확장한다

미분형 네 식의 원리는 다음과 같다.

• 가우스 법칙: 전속의 발산이 전하밀도와 같다. \nabla \cdot \vec{D} = \rho. 전하가 전기장의 원천임을 뜻한다.
• 가우스 자기 법칙: 자속밀도의 발산은 0이다. \nabla \cdot \vec{B} = 0. 자기 홀극이 없음을 뜻한다.
• 패러데이 법칙: 전기장의 회전은 자속밀도의 시간 변화율의 음수다. \nabla \times \vec{E} = -\partial \vec{B}/\partial t. 변하는 자기장이 전기장의 소용돌이를 만든다.
• 앙페르-맥스웰 법칙: 자기장의 회전은 전류밀도와 전속밀도의 시간 변화율의 합이다. \nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \partial \vec{D}/\partial t. 두 번째 항이 변위전류다.

식 4의 두 번째 항이 있어야 전하가 쌓이는 축전기 회로에서도 전류 연속이 성립한다. 전도전류만 있다고 보면 축전기 사이의 앙페르 법칙이 모순된다. 맥스웰은 이 모순을 해결하려고 변위전류를 도입했다.

연속 방정식은 네 식에서 유도된다. \nabla \cdot \vec{J} + \partial \rho/\partial t = 0은 전하 보존 법칙이다. 이 식은 가우스 법칙과 앙페르-맥스웰 법칙을 결합하면 얻는다.

재료 관계식은 다음과 같다. \vec{D} = \varepsilon \vec{E}, \vec{B} = \mu \vec{H}, \vec{J} = \sigma \vec{E}. 여기서 \varepsilon은 유전율, \mu는 투자율, \sigma는 도전율이다.

해석 절차는 다음과 같다.

• 문제의 대칭성과 시간 의존성을 확인한다.
• 정전계·정자계·준정상·파동 중 해당 경우를 고른다.
• 경계조건을 정하고 재료 관계식으로 \vec{E}, \vec{H}를 한 장으로 묶는다.
• 해당 미분방정식을 적분하거나 변수 분리로 푼다.
• 결과를 전압·전류·자속으로 환산하고 단위를 확인한다.

진공에서 네 식을 결합하면 파동방정식 \nabla^2 \vec{E} = \mu_0 \varepsilon_0 \partial^2 \vec{E}/\partial t^2이 나온다. 전파 속도는 c = 1/\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0} \approx 3 \times 10^8 m/s다. 이 값이 빛의 속도와 일치하므로 맥스웰은 빛을 전자기파로 결론지었다.

5. 관련 법령·기준·표준

맥스웰 방정식은 법령이 아니라 물리 법칙이다. 전기설비 실무에서는 이를 바탕으로 한 설계 기준이 쓰인다. 이 절은 방정식에 쓰이는 기준 상수와 재료 기준값을 정리한다. 기준값은 SI 단위로 적는다.

표의 값은 진공 상수와 일반 재료의 대표값이다. 도전율은 온도에 따라 달라지므로 계산 때 온도를 함께 적는다.

재료 관계식의 적용 범위는 다음과 같이 정리한다. 선형·등방·비분산 매질에서 \vec{D}=\varepsilon\vec{E}, \vec{B}=\mu\vec{H}가 성립한다. 강자성체나 비선형 매질에서는 이 관계가 깨지므로 별도 모델을 쓴다.

개정 연혁으로는 맥스웰의 원래 논문이 1864년에 8개 방정식을 제시했다. 이후 헤비사이드와 깁스가 벡터 표기로 정리하여 오늘날의 4개 식이 되었다. 이 정리를 맥스웰-헤비사이드 방정식이라고 부른다.