2자유도 고유진동

개요

2자유도 고유진동은 질량과 강성이 두 개의 좌표로 연성된 계의 자유진동이다.

한쪽이 움직이면 다른 쪽도 함께 흔들리므로 두 좌표를 함께 다뤄야 한다.

그 결과 고유진동수는 하나가 아니라 두 개가 나온다.

운동방정식과 행렬

각 질량의 힘 평형식을 행렬로 묶으면 운동방정식이 한 줄로 정리된다.

질량행렬과 강성행렬은 모두 대칭이다. 강성행렬의 비대각 항이 0이 아니면 연성이 있다.

자유도가 두 개면 두 행렬은 2×2 크기가 된다.

감쇠 항을 무시하면 자유진동식은 가속도 항과 변위 항만 남는다.

고유치 계산 예제

질량 2와 1, 강성 6과 2인 두 질량 계의 고유진동수를 구해 보자.

질량행렬은 대각이고, 강성행렬은 대칭이다. 두 행렬을 대입한다.

행렬식을 0으로 놓으면 λ에 대한 이차식이 된다. 여기서 λ는 ω²이다.

이차식을 풀면 λ는 3 플러스마이너스 루트 3이다. 작은 값이 1차 모드다.

ω를 구하면 1차는 약 1.126, 2차는 약 2.175 rad/s다.

모드형상

정답은 1차다. 작은 쪽 근 1.268 이 1차 고유진동수의 제곱이다.

모드형상은 고유벡터이며, 각 고유진동수에서 두 자유도의 변위 비율을 나타낸다.

1차 모드는 두 질량이 같은 방향으로 움직이는 형상이다.

2차 모드는 두 질량이 서로 반대 방향으로 움직인다.

헷갈리기 쉬운 점

첫째, 특성방정식은 ω²에 대한 이차식이다. 고유진동수 ω는 그 근의 제곱근이다.

둘째, 모드형상은 정규화 기준 성분을 밝혀 써야 답이 맞게 채점된다.

셋째, 회전이 있는 계는 작은 각 가정으로 선형화해야 선형 해석이 된다.

정규화 기준을 바꾸면 답이 달라지므로 문제의 지시를 그대로 따른다.

정리와 확인

정리하면 운동방정식을 세우고, 특성방정식의 두 근으로 고유진동수를 구한다.

각 고유진동수에 대해 모드형상을 구하고, 기준 성분을 1로 정규화한다.

1차는 같은 방향, 2차는 반대 방향인지 확인하면 결과를 검산할 수 있다.

이 흐름을 익히면 다층 건물의 다자유도 고유치 문제로 자연스럽게 넘어간다.