2자유도 고유진동

왜 배우는가: 2자유도 고유진동은 두 질량이 서로 연성되어 움직이는 가장 단순한 다자유도계이며, 건물의 1차·2차 모드, 연결 구조물의 진동 해석, 감쇠장치 설계의 출발점이다. 기출에서는 단진자와 층 구조물을 각각 운동방정식 세우기, 고유진동수·모드형상 구하기 형태로 반복해 물었다.

출제 이력: 제118회 4교시 1번, 제113회 3교시 3번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

2자유도 고유진동은 질량·강성이 두 개의 독립 좌표로 연성된 계가 자유진동할 때 나타나는 두 개의 고유진동수와 모드형상이다.

• 2자유도계(2-DOF system)
• 운동방정식(Equation of motion)
• 질량행렬(Mass matrix)·강성행렬(Stiffness matrix)
• 고유치문제(Eigenvalue problem)
• 고유진동수(Natural frequency)
• 모드형상(Mode shape)
• 연성(Coupling)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 질량이 두 개인 진동계에서 한쪽이 움직이면 다른 쪽도 함께 흔들리는 상태를 다룬다. 한 개의 질량만 있는 계는 고유진동수가 하나뿐이지만, 두 개의 질량이 스프링으로 이어지면 흔들림의 패턴이 두 가지로 나뉜다.

정식 정의는 다음과 같다. 자유도 수가 n인 선형 계는 질량행렬 [M], 강성행렬 [K]를 써서 [M]\{\ddot{u}\}+[K]\{u\}=\{0\}으로 표시된다. 두 행렬은 대칭이다.

자유도(Degree of freedom)는 계의 위치를 정하는 독립 좌표의 수다. 단진자와 층 구조물처럼 두 좌표로 위치가 정해지면 2자유도다.

연성(Coupling)은 한 좌표의 운동이 다른 좌표의 운동방정식에 나타나는 현상이다. 강성행렬의 비대각 성분이 0이 아니면 연성이 있다.

고유치(Eigenvalue)는 \omega^2이고, 고유벡터(Eigenvector)는 모드형상을 정한다. 비감쇠 자유진동에서는 \{u\}=\{\phi\}\sin(\omega t)를 대입해 ([K]-\omega^2[M])\{\phi\}=\{0\}을 얻는다.

고유진동수는 \det([K]-\omega^2[M])=0의 두 근으로 정해진다. 모드형상은 각 근을 대입했을 때 두 좌표의 비율로 나타난다.

3. 등장 배경과 필요성

단자유도 모델은 질량 하나가 한 방향으로만 움직인다고 가정한다. 실제 구조물은 층마다 질량이 있고 층 사이가 연결되어 있어, 한 층의 변위가 다른 층의 힘을 바꾼다. 이 때문에 단자유도로는 건물의 흔들림을 정확히 설명할 수 없다.

2자유도 모델은 이 한계를 가장 단순한 형태로 보여 준다. 다층 건물은 층 수만큼 자유도가 있으므로, 2자유도의 원리를 익히면 다자유도계 고유치문제로 자연스럽게 넘어갈 수 있다. 건축구조에서는 1차 모드가 전체 응답을 지배하는 경우가 많아, 두 모드의 비율을 보는 것이 설계 판단에 쓰인다.

단진자가 두 자유도로 움직이는 경우도 같은 원리다. 진자의 수평 변위와 회전각을 좌표로 잡으면 두 운동방정식이 연성된다. 이때 선형화 조건(작은 각)을 두면 행렬식으로 바로 풀 수 있다. 작은 각 근사에서 \sin\theta\approx\theta를 쓰는 것이 흔한 방법이다.

이 절에서는 두 모드 중 낮은 쪽이 1차 모드, 높은 쪽이 2차 모드이며, 1차 모드가 가장 큰 응답을 만든다는 점을 기억하면 된다.

4. 구성요소·원리·절차

2자유도 고유진동은 질량 두 개와 강성 두 개가 연결된 계가 서로 간섭하며 움직이는 현상이다. 한 질량의 운동이 다른 질량의 운동을 끌어내므로 운동방정식은 연립 상미분방정식이 된다. 이 연립 방정식을 행렬 형태로 쓰면 질량행렬과 강성행렬이 나타나고, 이 두 행렬로 고유치문제를 세운다. 고유진동수는 두 개가 나오며 각각 1차 고유진동수와 2차 고유진동수라 부른다.

위 표의 행렬은 관련 자료에서 말하듯 질량행렬과 강성행렬이 대칭인 행렬이다. 감쇠행렬을 무시하면 자유진동 방정식은 [M]{ü}+[K]{u}={0} 이다.

원리는 다음과 같다. 해를 {u}={φ}sin(ωt)로 놓고 대입하면 고유치문제 ([K]-ω²[M]){φ}={0} 을 얻는다. 자명해가 아닌 해를 가지려면 행렬식이 0이어야 하므로 det([K]-ω²[M])=0 이 고유진동수를 정한다. 이 식은 ω²에 대한 이차방정식이다. 두 근을 구한 뒤 각 근을 대입하면 모드형상의 비가 정해진다.

고유진동수는 특성방정식 det([K]-ω²[M])=0 의 근으로 구한다

절차는 다음 순서로 진행한다.

• 각 질량의 자유물체도를 그리고 힘의 평형식을 세운다.
• 운동방정식을 행렬 [M]{ü}+[K]{u}={0} 형태로 정리한다.
• 특성방정식 det([K]-ω²[M])=0 을 세운다.
• ω²의 두 근을 구하고 ω 값으로 바꾼다.
• 각 ω 에 대해 모드형상 비를 구하고 정규화한다.
• 결과가 상식 범위인지 확인한다(강성이 큰 쪽의 진동수가 높은지 등).

질량 m1, m2 와 강성 k1, k2 가 직렬로 연결된 전단형 2층 모델을 예로 들면, [M]=diag(m1, m2), [K]=[[k1+k2, -k2],[-k2, k2]] 이다. 여기서 k1 은 1층 강성, k2 는 2층 강성이며 단위는 N/m 또는 kN/m 로 같은 계에서 통일한다. 특성방정식은 m1 m2 ω⁴ - [(k1+k2)m2 + k2 m1] ω² + k1 k2 = 0 이 된다. 두 근의 곱은 k1 k2/(m1 m2), 합은 [(k1+k2)m2+k2 m1]/(m1 m2) 이다.

모드형상은 두 번째 식 -k2 φ1 + (k2 - m2 ω²) φ2 = 0 에서 φ2/φ1 = (k2+k1 - m1 ω²)/k2 로 구한다. 1층 기준으로 φ1=1 로 정규화하는 것이 시험에서 흔하다.

하중이 없는 계의 모드는 서로 직교한다. 즉 φ_i^T [M] φ_j = 0 (i≠j) 이다. 이 직교성을 이용하면 결과를 검산할 수 있다. 1차 모드는 두 질량이 같은 방향으로 움직이고, 2차 모드는 서로 반대 방향으로 움직이는 형상이다. 2차 모드에서는 중간 절점이 정지하는 절점(node) 이 생긴다.

5. 관련 법령·기준·표준

2자유도 고유진동 자체는 법령에 수치 기준이 정해진 개념이 아니다. 실무에서 적용되는 기준은 건축물의 내진·내풍 설계에서 나온다. 국내에서는 구조설계기준(KDS 시리즈)과 건축구조기준(KDS 41 계열)이 설계 절차를 정한다. 동적 해석을 쓰는 조건, 응답수정계수, 지진력 산정 방식은 해당 기준의 조문을 따른다. 이 절에서는 구체 조문 번호를 쓰지 않는다.

위 표의 값은 설계 관행과 교재에 널리 실린 값이다. 실제 설계에서는 해당 기준의 최신 개정 조문을 함께 확인해야 한다. 개정 연혁은 기준 체계가 KDS 로 정리된 이후 세부 규정이 바뀌어 왔음을 전제로 한다.

1차 고유진동수가 가장 낮다 는 점은 모든 다자유도계에서 공통이다. 설계에서는 1차 모드 주기가 응답을 지배하므로 이 값을 먼저 검토한다.

6. 유형과 비교

2자유도 고유진동은 자유도 연성(coupling)의 유무와 좌표 선택에 따라 여러 방식으로 나눠 다룬다. 같은 시스템이라도 질량행렬이 대각인지, 강성행렬이 대각인지에 따라 풀이 난이도가 달라지므로 시험에서는 이 구분을 먼저 밝혀 쓰는 것이 좋다. 먼저 물리 좌표계와 모드 좌표계의 차이를 비교한다.

물리 좌표 해석은 시험 문항의 손 계산에 바로 쓰인다. 모드 좌표 해석은 다층 전단건물의 응답을 모드별로 나눌 때 쓰인다. 두 방법은 결과가 같으므로 답안에서는 한 방법을 골라 일관되게 쓴다.

다음으로 두 시스템 유형을 비교한다. 단진자 연결형은 질점의 병진 자유도와 회전 자유도를 함께 갖는 경우이고, 다층 전단건물형은 층 변위만을 자유도로 갖는 경우이다.

선형화 가정(\sin\theta\approx\theta)이 성립해야 두 경우 모두 선형 고유치 문제로 풀린다. 이 가정을 쓴다는 문장을 답안에 반드시 넣는다.

7. 장단점·한계와 개선 방향

2자유도 해석의 장점은 손 계산으로 고유진동수와 모드형상을 모두 구할 수 있다는 점이다. 모드 형상의 방향성을 보면 어느 층 또는 어느 자유도가 크게 움직이는지 직관으로 파악된다. 또한 2자유도 결과는 다자유도계의 1차·2차 모드를 이해하는 기초가 된다.

한계는 다음과 같다. 첫째, 선형 가정이 깨지는 큰 변위 영역에서는 고유진동수가 변한다. 둘째, 감쇠가 있으면 고유치 해석만으로 응답의 진폭을 알 수 없다. 셋째, 실제 건물은 자유도가 수십~수백 개이므로 2자유도 결과를 그대로 확장할 수 없다.

개선 방향은 다음과 같다.

• 자유도를 늘리고 질량·강성행렬을 조립하여 고유치 해석을 수행한다.
• 감쇠를 Rayleigh 감쇠 등으로 모델링하여 응답을 구한다.
• 모드 중첩법으로 각 모드의 기여를 합산하여 응답을 구한다.
• 필요하면 유한요소 모델로 자유도를 정식 구성한다.

모드 형상은 고유벡터이므로 기준 성분을 1로 정규화하여 표시한다

8. 사례 또는 계산 예제

고유진동수와 모드 형상을 구하는 계산 순서를 정리한다. 여기서는 제시된 값 m_1=2, m_2=1, k_1=6, k_2=2 를 쓰는 연결 시스템 형태의 예제로 계산한다. 단위는 시험 문항의 단위계를 따르고 자중과 감쇠는 무시한다.

주어진 값: 질량 m_1=2, m_2=1, 강성 k_1=6, k_2=2.