횡강성과 고유진동수

횡강성의 정의

횡강성은 구조물이 옆으로 밀릴 때 버티는 힘의 크기다.

정식으로는 프레임 상부 집중질량의 수평변위 Δ에서 복원력 R을 구해 k = R/Δ로 정의한다.

같은 질량이라도 횡강성이 크면 더 빨리 흔들리고, 작으면 천천히 흔들린다.

강성 산정 절차

횡강성 문제는 구조물을 강체 질량과 횡력에 저항하는 프레임으로 나누어 본다.

부재 강성행렬을 직접강성법으로 조립하면 횡변위와 회전 자유도가 연성된다.

회전 자유도를 응축으로 소거해야 유효 횡강성 k_eff가 남는다.

이 k_eff를 운동방정식의 강성으로 쓴다.

진동 특성

프레임 질량을 무시하고 질량 m만 남기면 1자유도 자유진동이 된다.

이때 각진동수는 ω = √(k/m)으로 정해진다.

진동수 f는 ω를 2π로 나눈 값이고, 주기 T는 2π를 ω로 나눈 값이다.

고유진동수는 강성과 질량의 함수이고 외력과는 무관하다. 시험에서 자주 묻는 핵심이다.

계산 예제

가상의 예로 질량 10,000kg, 유효 횡강성 2.0×10⁶N/m인 구조물을 본다.

ω는 √(k/m)으로 구하며 √200은 약 14.1 rad/s가 된다.

이 값을 2π로 나누면 f이고, 약 2.25Hz가 된다.

T는 f의 역수로 약 0.44초다. 저층 골조의 일반적인 범위에 드는 값이다.

헷갈리는 점

첫째, 횡강성은 강성행렬의 성분이 아니라 회전 자유도를 소거한 유효 강성이다.

둘째, 질량은 kg, 강성은 N/m 계열로 단위를 통일해야 한다.

셋째, f와 ω를 혼동하지 않는다. ω는 f에 2π를 곱한 값이다.

직접 풀어 보기

이제 방금 배운 내용을 직접 적용해 보자.

진동수가 강성의 평방근에 비례한다는 점을 떠올려 보자.

화면의 문제를 풀어 보자.

정리

횡강성은 단위 수평변위에 필요한 수평력이다.

강성행렬을 조립하고 회전 자유도를 소거해 유효 강성을 얻는다.

그다음 강체 질량과 함께 ω, f, T 관계식에 대입한다.

강성이 두 배면 진동수는 약 1.41배가 된다. 채점에서는 이 과정을 모두 요구하는 경우가 많다.