횡강성 및 진동수

왜 배우는가: 횡강성과 진동수는 구조물의 고유주기를 결정하고, 내진·풍진동 설계에서 동적 응답을 가르는 기본값이다. 건축구조기술사 시험에서는 강성 산정과 f, ω, T 계산을 연결하는 문항으로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제139회 3교시 1번, 제122회 2교시 4번, 제115회 2교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

횡강성(lateral stiffness)은 수평변위 1단위를 만드는 데 필요한 수평력이며, 고유진동수는 이 강성과 질량으로 정해진다.

핵심 키워드

• 횡강성(lateral stiffness): 수평력과 수평변위의 비, 단위는 N/m 또는 kN/m
• 고유진동수(natural frequency): 자유진동이 1초에 반복하는 횟수, 단위 Hz
• 고유각진동수(circular frequency): 2π배 한 값, 단위 rad/s
• 고유주기(natural period): 한 번 진동하는 데 걸리는 시간, 단위 s
• 직접강성법(direct stiffness method): 부재 강성행렬을 조립해 전체 강성을 구하는 해석법
• 강체 질량(rigid mass): 구조물 상부에 집중된 질량
• 단자유도계(single degree of freedom): 횡변위 한 개로 거동을 나타내는 모델
• 전단 수평이동(shear racking): 골조 수평변형의 대부분을 차지하는 변형 형태

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 횡강성은 구조물이 옆으로 밀릴 때 버티는 힘의 크기다. 같은 질량이라도 횡강성이 크면 더 빨리 흔들리고, 횡강성이 작으면 천천히 흔들린다.

정식으로는 프레임 상부의 집중질량 m에 수평변위 Δ가 생길 때 프레임이 제공하는 복원력 R을 k = R/Δ로 정의한다. 이 k를 횡강성이라 한다. 프레임 질량을 무시하고 강체 질량 m만 고려하면 운동방정식은 m ü + k u = 0이 되어, 한 자유도계의 자유진동이다.

횡변위(lateral displacement)는 수평하중에 의해 층 또는 질량점이 옆으로 이동한 양이다. 복원력(restoring force)은 변형을 원래 상태로 되돌리려는 부재의 힘이다. 고유진동수는 강성과 질량의 함수이고, 외력과는 무관하다. 이 점이 시험에서 자주 묻는 핵심이다.

3. 등장 배경과 필요성

고층화와 경량화로 구조물의 고유진동수가 낮아지면서 풍하중과 지진하중에 대한 동적 응답이 커졌다. 정적 해석만으로는 가속도와 변위의 증폭을 설명하기 어려워졌고, 강성과 질량으로부터 주기를 구하는 동적 해석이 필수가 되었다.

횡강성은 설계 기준의 등가정적하중 산정과 동적 해석 모델링에 모두 쓰인다. 예를 들어 주기가 짧은 저층 구조물은 강성 위주로, 주기가 긴 고층 구조물은 질량과 감쇠의 영향을 함께 본다. 강성 산정 방법이 달라지면 결과 주기도 달라지므로, 횡강성 산정 절차를 정확히 쓰는 것이 답안 점수를 가른다.

강성 기여도는 골조 형식에 따라 다르다. 강접골조는 보와 기둥의 휨강성이 지배하고, 가새골조는 가새의 축강성이 지배한다. 전단형 골조에서는 층 전단 수평이동이 전체 수평변형의 대부분을 차지하므로, 전단형 모델로 층강성을 간단히 추정하기도 한다.

4. 구성요소·원리·절차

횡강성 문제는 구조물을 강체 질량과 횡력에 저항하는 프레임 요소로 나누어 보는 것에서 출발한다. 구성요소는 질량, 복원력을 내는 기둥·보(또는 가새), 그리고 지점조건이다. 질량은 강체로 보고 프레임 부재의 질량은 무시한다.

횡강성의 원리는 단위 수평변위에 필요한 수평력으로 정의하는 것이다. 강성행렬을 직접강성법으로 조립하면 횡변위 자유도와 회전 자유도가 연성된다. 회전 자유도는 절점 평형식으로 소거하고, 횡방향 강성만 남긴다. 그래서 유효 횡강성은 응축(condensation) 결과로 얻는다.

절차는 다음과 같다.

• 질량 m의 위치와 횡변위 자유도(Δ)를 정한다.
• 부재별 강성행렬을 구하고 직접강성법으로 전체 행렬을 조립한다.
• 지점 조건을 적용하여 자유 자유도와 구속 자유도를 나눈다.
• 회전 자유도를 소거하여 횡방향 유효 강성 k_eff를 구한다.
• 횡력 P를 가해 변위 Δ를 구하고 k=P/Δ로 확인한다.
• 고유 각진동수, 진동수, 주기를 식에 대입한다.

핵심 식은 다음과 같다.

$k_{eff}=K_{\Delta\Delta}-K_{\Delta\theta}K_{\theta\theta}^{-1}K_{\theta\Delta}$

여기서 K_{\Delta\Delta}는 횡변위 자유도의 강성, K_{\theta\theta}는 회전 자유도의 강성, K_{\Delta\theta}는 두 자유도의 연성 강성(단위 N/m 계열)이다.

진동 특성은 프레임 질량을 무시하고 질량 m만 남긴 1자유도 운동방정식으로 정리한다.

$m\ddot{u}+k_{eff}u=0$

$\omega=\sqrt{\frac{k_{eff}}{m}},\quad f=\frac{\omega}{2\pi},\quad T=\frac{2\pi}{\omega}$

여기서 ω는 각진동수(rad/s), f는 진동수(Hz), T는 주기(s)이다. 질량과 강성의 단위는 kg, N/m로 일관되게 쓴다.

진동수가 강성의 평방근에 비례하므로 강성을 두 배로 하면 진동수는 약 1.41배가 된다. 이 관계는 답안에서 개념 설명 근거로 쓴다.

횡강성은 단위 수평변위에 필요한 수평력(k=R/Δ)으로 정의하고, 회전 자유도를 응축하여 구한다.

5. 관련 법령·기준·표준

횡강성 산정 자체는 법령 조문이 아니라 구조역학과 구조해석의 일반 원리를 따른다. 건축구조 설계에서 진동을 다루는 기준은 설계기준(KDS)의 동적해석 조항과 건축구조기준 체계에 있으나, 본 절에서는 기준값 대신 산정에 쓰는 기본 기준값과 단위를 정리한다.

강재의 탄성계수 200GPa는 본 문항 조건이며, 강성 계산에서 E·I(또는 E·A)의 단위를 N·m²(또는 N)로 맞춘다. 단면 2차모멘트는 cm⁴을 m⁴로 바꿔 쓴다(1cm⁴=10⁻⁸m⁴).

이 값들은 수치 계산 단계에서 그대로 대입한다. 기준의 세부 조항 번호는 본 절에서 제시하지 않는다.

강재 탄성계수 200GPa

개정 연혁은 본 절에서 다루지 않는다. 기준 체계의 최근 변화는 9절에서 다룬다.

6. 유형과 비교

횡강성은 구조형식과 지지조건에 따라 크게 달라진다. 같은 질량이라도 골조, 가새골조, 전단벽의 강성 차이가 고유진동수를 바꾼다. 유형을 나누어 두면 문항에서 요구한 구조형식에 맞는 산정법을 빠르게 고를 수 있다.

• 강절 골조(모멘트 저항골조): 보와 기둥이 강절로 연결된 구조다. 횡강성은 기둥의 휨강성과 보의 강비에 따라 정해진다. 강성은 보와 기둥의 크기에 비례하고 기둥 간격에 반비례한다.
• 가새골조: 대각 가새가 축력으로 횡력을 부담한다. 가새의 축방향 강성 EA와 기하 배치가 횡강성 산정의 핵심이다.
• 전단벽: 벽체의 전단변형과 휨변형이 함께 생긴다. 높이가 높으면 휨변형 성분이 커진다.