평면응력과 평면변형률

정의

평면응력과 평면변형률은 3차원 연속체를 2차원 유한요소로 줄이는 기본 가정이다.

두 가정은 두께 방향과 길이 방향 중 어느 쪽 성분을 0으로 두는지가 다르다.

평면응력은 두께 방향 응력이, 평면변형률은 길이 방향 변형률이 0이다.

평면응력요소

평면응력은 얇은 판처럼 두께 방향 응력이 없는 상태다.

면내 응력 σx, σy, τxy 만 남고 두께 방향 응력 σz 는 0이다.

내력벽, 절판, 판보의 웨브처럼 면내 힘이 지배하는 얇은 면재에 쓴다.

두께 방향으로 자유롭게 수축과 팽창을 하는 것이 특징이다.

평면변형률요소

평면변형률은 댐, 옹벽, 터널처럼 길이 방향으로 길고 단면이 일정한 구조에 쓴다.

길이 방향 변형률이 0이다. 주변 재료가 길이 방향 변형을 막고 있기 때문이다.

그래서 길이 방향 응력 σz 는 0이 아니며, σz = ν(σx+σy) 로 구한다. ν 는 포아송비다.

긴 옹벽의 길이 방향 응력을 평면응력으로 풀면 결과가 틀어진다.

두 가정 비교

두 가정은 0으로 두는 성분이 다르므로 탄성 행렬의 계수도 달라진다.

평면응력은 두께 방향 응력, 평면변형률은 길이 방향 변형률이 0이다.

같은 재료라도 평면응력은 E/(1-ν²), 평면변형률은 E/((1+ν)(1-2ν)) 계수를 쓴다.

그래서 같은 재료라도 강성 행렬과 해석 결과가 달라진다.

판정 기준과 실수

판정은 형상과 하중으로 먼저 한다. 두께가 얇고 면내 하중이 지배하면 평면응력이다.

길이가 단면 치수보다 훨씬 길고 축 방향 변화가 없으면 평면변형률이다.

흔한 실수는 구속 방향을 뒤바꾸는 것과 포아송비 식을 빠뜨리는 것이다.

직접 풀어 보자.

정답과 정리

정답은 평면응력이다. 얇은 전단벽은 두께 방향 응력이 0이라고 가정한다.

정리하면 평면응력은 얇은 판의 면내 응력, 평면변형률은 긴 물체의 단면 변형이다.

두 가정 모두 3차원 문제를 2차원으로 줄인다. 모델링 전에 가정부터 고른다.

시험 답안에서는 두 가정의 구속 조건과 적용 대상을 함께 비교해 쓴다.