평면응력요소와 평면변형률요소

왜 배우는가: 평면응력과 평면변형률은 3차원 연속체를 2차원 유한요소로 줄이는 기본 가정이다. 두 가정을 잘못 고르면 긴 옹벽이나 내력벽의 응력 결과가 달라지므로 실무 모델링에서 반드시 판단해야 한다. 시험에서는 두 요소의 구속 조건 차이를 비교하는 문제로 반복해 출제된다.

출제 이력: 제135회 1교시 4번, 제129회 1교시 3번, 제118회 1교시 10번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

평면응력요소는 두께 방향 응력을 0으로, 평면변형률요소는 길이 방향 변형률을 0으로 두고 면내 거동만 푸는 2차원 요소이다.

핵심 키워드

• 평면응력(Plane Stress)
• 평면변형률(Plane Strain)
• 면내 거동
• 두께 방향 응력
• 길이 방향 구속
• 포아송비(Poisson's Ratio)
• 2차원 연속체 요소
• 응력변환

2. 개념 풀이

쉬운 말로 말하면, 구조물의 한 방향 치수가 나머지 두 방향보다 훨씬 작거나 훨씬 길 때 그 방향의 변화를 무시하고 2차원으로 줄여 푸는 방법이다. 두 방향 중 어느 쪽이 무시되는지에 따라 평면응력과 평면변형률로 나뉜다.

정식으로 보면 평면응력 상태는 얇은 판처럼 두께 방향 응력이 없는 상태다. 식으로는 σz = τxz = τyz = 0 이며, 면내 응력 σx, σy, τxy 만 남는다. 판 면에 힘이 작용하고 두께가 폭에 비해 얇은 경우에 해당한다.

평면변형률 상태는 댐, 옹벽, 터널처럼 길이 방향으로 길고 단면이 일정한 구조물에서 길이 방향 변형이 주변 재료에 의해 막힌 상태다. 식으로는 εz = γxz = γyz = 0 이다. 이때 길이 방향 응력 σz 는 0이 아니며 σz = ν(σx+σy) 로 구한다. 여기서 ν 는 포아송비다.

평면응력은 σz=τxz=τyz=0, 평면변형률은 εz=γxz=γyz=0 인 상태다.

핵심 용어를 나누어 보면 다음과 같다.

• 두께 방향 응력: 평면응력에서 판 두께 방향 응력 성분을 0으로 두는 조건이다. 면내 응력만 남아 면내 힘의 평형으로 해를 얻는다.
• 길이 방향 구속: 평면변형률에서 긴 방향 변형이 막혀 있는 조건이다. 이 구속 때문에 길이 방향 응력이 생긴다.
• 포아송비: 축 방향 변형에 대한 횡 방향 변형의 비다. 평면변형률에서 길이 방향 응력을 결정하는 재료 상수다.

두 상태의 응력-변형률 관계는 같은 꼴이지만 탄성 행렬의 계수가 다르다. 등방 재료에서 평면응력의 계수는 E/(1-\nu^2) 이고, 평면변형률의 계수는 E/((1+\nu)(1-2\nu)) 이다. 따라서 같은 재료라도 강성 행렬이 달라지고 해석 결과도 달라진다.

두 상태 모두 면내 응력 두 개와 전단응력 한 개만 알면 임의 방향의 응력을 응력변환식으로 구할 수 있다. 이 점에서 2차원 요소 결과를 모어원으로 읽는 것이 가능해진다. 3차원 응력 상태는 주응력 세 개가 모두 필요하므로 해석 방법 자체가 다르다.

3. 등장 배경과 필요성

3차원 연속체를 그대로 유한요소로 나누면 절점과 자유도가 크게 늘어난다. 계산 시간과 모델 작성 시간도 함께 증가한다. 얇은 판, 전단벽, 긴 옹벽이나 댐의 단면처럼 한 방향 변화가 작은 구조는 2차원 해석으로 충분하다는 판단이 필요했다. 이 판단의 근거가 평면응력과 평면변형률 가정이다.

두 가정은 같은 2차원 문제라도 구속 조건이 달라 적용 대상이 갈린다. 평면응력만 쓰면 긴 옹벽의 길이 방향 응력이 빠져 결과가 틀린다. 반대로 얇은 판에 평면변형률을 적용하면 두께 방향 응력을 억지로 구속하게 되어 강성이 과대평가된다. 그래서 모델링 전에 구조의 형상과 하중 방향을 먼저 보고 가정을 고른다.

평면응력이 적합한 대상은 다음과 같다. 내력벽과 같은 면내 전단벽, 절판과 같은 얇은 판 구조, 판보의 웨브 같은 얇은 면재가 대표적이다. 완만한 곡면을 가진 얇은 셸도 평면으로 펼쳐서 평면응력으로 근사할 수 있다. 원통형 얇은 벽의 후프 응력 해석이 이 예다.