응력변환과 모어원

정의와 핵심

응력변환은 한 점의 응력 성분을 좌표축 회전에 따라 바꾸는 계산이다.

모어원은 그 관계를 원으로 나타낸 도해법이다.

같은 점이라도 자르는 면의 방향에 따라 응력이 달라진다.

그 차이를 식으로 옮긴 것이 응력변환식이다.

응력변환식

한 점에서 좌표축을 θ만큼 돌리면 새 면의 응력이 정해진다.

첫 식은 수직응력, 둘째 식은 전단응력을 구하는 식이다.

σx, σy는 수직응력, τxy는 전단응력이고 θ는 x축에서 반시계 방향이 양이다.

회전각이 2θ로 나타나므로 응력원의 중심각은 실제 회전각의 두 배다.

이 점이 모어원에서 각도를 반으로 나눠 읽는 이유다.

주응력과 최대전단응력

전단응력이 0인 면의 수직응력이 최대·최소가 되며, 이를 주응력이라 한다.

두 주응력의 평균이 원의 중심이고, 반지름 R은 제곱근 항으로 구한다.

두 주평면은 90° 차이가 나며 주방향은 tan 2θp 식으로 구한다.

최대 전단응력은 응력원의 반지름과 같고, 주응력면에서 45° 돌아간 면에 생긴다.

주응력은 두 개 모두 최대와 최소로 구분해 써야 한다.

모어원 작도

모어원은 수직응력 σ를 가로축, 전단응력 τ를 세로축으로 하는 원이다.

X(σx, τxy)와 Y(σy, −τxy)를 찍고, 두 점을 잇는 선분을 지름으로 원을 그린다.

원과 가로축의 교점이 주응력 σ1, σ2이고, 중심은 평균응력이다.

원의 꼭대기와 바닥 값이 최대 전단응력 τmax이며 반지름과 같다.

그림의 예에서 σ1=92.43 MPa, σ2=7.57 MPa, τmax=42.43 MPa이다.

예제 계산

예제로 σx=80, σy=20, τxy=30 MPa인 평면응력 상태를 보자.

평균응력은 50 MPa이고, 반지름 R은 42.43 MPa이다.

주응력은 평균에 R을 더하고 뺀 92.43 MPa과 7.57 MPa이다.

최대 전단응력은 R과 같은 42.43 MPa이고, θp는 22.5°이다.

검산으로 두 주응력의 합이 100 MPa이 되는지 확인한다.

헷갈리는 점

모어원에서 읽은 각도는 실제 요소 회전각의 두 배이므로 반드시 2로 나눈다.

최대 전단응력 면은 주응력 면에서 45° 기울어진 면이므로 구분한다.

주응력은 평균에 제곱근 항을 더하고 뺀 두 값이므로 두 개 모두 써야 한다.

채점은 주응력 두 개, τmax 계산, 각도 환산, 회전 규약을 확인한다.

정리

정리하면 응력변환은 평균응력과 반지름으로 주응력을 구하는 계산이다.

식으로 값을 구하고 모어원으로 상태를 그려 검산한다.

고유치해석에서는 특성방정식의 근이 주응력, 고유벡터가 주방향이다.

앞 문제 정답은 tan 2θp = 1이고, 이때 θp는 22.5°이다.