응력변환과 모어원

왜 배우는가: 응력변환과 모어원은 보, 기둥, 축처럼 여러 응력이 겹치는 부재에서 위험한 면을 찾는 기초다. 구조역학 문제에서 주응력과 최대전단응력을 구하고 그림으로 표시하라는 형태로 반복해 나온다.

출제 이력: 제130회 3교시 6번, 제93회 4교시 4번, 제89회 3교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

응력변환은 한 점의 응력 성분을 좌표축 회전에 따라 새 좌표계의 성분으로 바꾸는 계산이고, 모어원은 그 관계를 원으로 나타낸 도해법이다.

• 응력변환
• 주응력
• 주방향
• 최대전단응력
• 모어원
• 응력불변량
• 고유치해석

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 같은 점이라도 자르는 면의 방향에 따라 작용하는 응력이 달라진다. 응력변환은 그 차이를 계산식으로 옮기는 일이다.

정식으로는, 한 점에서 좌표축을 θ만큼 회전할 때 새 면에 작용하는 수직응력과 전단응력을 원래 성분 σx, σy, τxy로 나타낸 관계식을 응력변환식이라 한다. 인장 응력은 양(+)으로, 각 θ는 x축에서 반시계 방향을 양으로 잡는다.

$\sigma_{x'}=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos 2\theta+\tau_{xy}\sin 2\theta$

$\tau_{x'y'}=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin 2\theta+\tau_{xy}\cos 2\theta$

기호 σx, σy는 x면과 y면의 수직응력(MPa), τxy는 그 면의 전단응력이다. 각도가 2θ로 나타나므로 원 위에서 읽는 각은 실제 회전각의 두 배가 된다. 이 점이 모어원에서 각도를 반으로 나눠 읽는 이유다.

전단응력이 0이 되는 면에서 수직응력이 최대·최소가 되며, 이 값을 주응력이라 한다. 두 주평면은 서로 90° 차이 가 난다. 두 주응력의 평균이 원의 중심이고, 반지름은 아래 식으로 구한다.

$R=\sqrt{\left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2+\tau_{xy}^2}$

수직응력 σ와 전단응력 τ의 관계는 중심 C((σx+σy)/2, 0), 반지름 R인 원, 즉 (σ−C)²+τ²=R² 로 정리된다. 이것이 모어원이다. 원 위의 한 점은 한 면의 응력 상태이고, 주응력은 원과 σ축이 만나는 두 점이다. 최대전단응력은 원의 꼭대기 값이며 τmax=R 이다. 이 면은 주응력면에서 45° 돌아간 면이다.

모어원 작도는 다음 순서로 한다.

• σ축과 τ축을 잡고, 점 X(σx, τxy)와 점 Y(σy, −τxy)를 찍는다. 두 점은 같은 요소의 서로 직교하는 두 면이다.
• 선분 XY를 지름으로 하는 원을 그리고, 중심 C를 σ축 위에 표시한다.
• 원과 σ축의 교점이 σ1, σ2이고, 원의 꼭대기와 바닥이 ±τmax이다.
• 원에서 잰 각을 반으로 나누면 실제 주응력면의 회전각 θp가 나온다.

고유치해석으로 보면 같은 결과가 나온다. 응력텐서는 대칭이므로 특성방정식의 근이 모두 실수이고, 그 근이 주응력(고유값), 고유벡터가 주방향이다. 평면응력에서 특성방정식은 λ² − (σx+σy)λ + (σxσy − τxy²) = 0 이며, 근은 평균 ± R 과 같다. 응력불변량은 좌표 회전에 관계없이 같은 값을 갖는다. 이 성질 때문에 식으로 푸는 방법과 원으로 푸는 방법의 결과가 일치한다.

3. 등장 배경과 필요성

실제 구조부재에서는 한 점에 여러 응력이 동시에 걸린다. 보는 휨응력과 전단응력이 같이 작용하고, 편심을 받는 기둥은 축응력과 휨응력이 겹치며, 축은 비틀림과 휨을 함께 받는다. 이때 x, y 방향 응력만 보면 가장 불리한 면을 놓칠 수 있다. 그래서 면의 방향을 바꿔도 달라지는 최대·최소 값, 즉 주응력을 찾아야 한다.

재료가 항복하거나 파괴하는 조건을 정할 때도 주응력이 쓰인다. 최대주응력설, 최대전단응력설(트레스카), 폰 미제스 기준 모두 주응력 또는 그 차이를 입력으로 한다. 따라서 주응력과 최대전단응력을 정확히 구하는 것은 항복 검토의 출발점이 된다.

구조 실무에서 한 면이 자유표면인 부재는 평면응력 상태로 취급하는 경우가 많다. 자유표면에서는 그 면에 수직인 응력과 전단응력이 0이 되므로 두 방향 응력만 남는다. 반면 3차원 응력 상태에서는 모어원이 세 개 생기고, 가장 큰 주응력과 가장 작은 주응력이 각각 바깥쪽 원의 지름 양 끝이 된다.