오일러 좌굴하중

오일러 좌굴하중이란

오일러 좌굴하중은 세장한 탄성 기둥이 횡방향으로 휘기 시작하는 임계하중이다.

길고 가는 기둥은 재료가 강해도 갑자기 옆으로 휜다. 좌굴은 강도가 아니라 강성 문제다.

답안 첫 줄에는 이 정의를 그대로 쓴다.

식과 변수

임계하중은 오일러 식으로 구한다. 식에 들어가는 값은 탄성계수, 단면2차모멘트, 유효길이뿐이다.

재료강도는 식에 들어가지 않는다. 고강도강을 써도 세장한 기둥의 좌굴하중이 크게 늘지 않는 이유다.

단위는 E를 MPa, I를 mm⁴, L을 mm로 통일해야 N 단위의 결과가 나온다.

유효좌굴길이 KL은 단부 조건을 반영해 실제 길이 L을 보정한 값이다.

유도 절차

먼저 축력 P에 의한 편심 모멘트 Pv와 휨 강성 EI의 평형식을 세운다.

곡률 관계로 EI v'' + Pv = 0 인 2계 미분방정식을 얻는다.

k = √(P/EI)로 치환해 일반해를 구하고, 경계조건을 대입한다.

0이 아닌 해가 존재하려면 kL = nπ이고, n = 1이 최소 임계하중이다.

계산 예제와 직접 풀기

구체적으로 길이 4 m, 양단 핀인 강재 기둥의 임계하중을 구해 보자.

공식에 값을 대입하면 임계하중은 약 2.47×10⁶ N, 즉 약 2,470 kN이다.

같은 기둥을 일단 고정·타단 자유(K = 2.0)로 바꾸면 임계하중은 어떻게 변하는가?

정답과 단부 조건 비교

앞 문제의 정답은 1/4배다. 유효길이 KL이 2배가 되어 (KL)²이 4배 커지기 때문이다.

단부 조건을 보면 K가 작을수록 임계하중이 커진다. 양단 고정이 양단 핀보다 큰 이유다.

헷갈리기 쉬운 점은 두 가지다. 유효길이를 실제 길이로 착각하지 말고, 최소 단면2차모멘트 방향을 써야 한다.

세장비가 한계세장비보다 작으면 응력이 비례한도를 넘어 오일러식을 그대로 쓸 수 없다.

좌굴모드와 확인 문제

좌굴모드는 하중이 임계값에 이를 때 나타나는 변형형상이다. 1차 모드는 반파장이 1개다.

모드 번호 n이 커지면 임계하중은 n²배로 커진다. 1차 대비 2차는 4배, 3차는 9배다.

그래도 실제 기둥은 가장 낮은 1차 모드에서 좌굴한다.

정리

정리하면 임계하중은 E, I, 유효길이로 정해지고 재료 강도는 들어가지 않는다.

임계응력과 세장비로 옮겨 쓰며, 좌굴은 최소 단면2차모멘트 방향으로 먼저 일어난다.

이 식은 편심과 초기 휨이 없는 이상 기둥의 상한에 가까운 값이다.