오일러 좌굴하중

왜 배우는가: 오일러 좌굴하중은 세장한 압축재가 재료 강도가 아닌 강성과 길이에 의해 갑자기 휘는 임계 상태를 설명하는 기본식이다. 기둥·압축재 설계의 출발점이며, 기술사 시험에서 유도 과정과 유효좌굴길이 개념을 묻는 문제로 반복해서 나온다.

출제 이력: 제139회 4교시 3번, 제103회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

오일러 좌굴하중은 탄성 상태의 세장한 기둥이 축압축력을 받아 횡방향 변형이 시작되는 이상적인 임계하중이다. 답안 첫 줄에는 이 문장을 그대로 쓴다.

세장한 탄성 기둥이 축압축력을 받아 횡방향 좌굴을 시작하는 이상적 임계하중이다

핵심 키워드

• 좌굴(buckling)
• 임계하중(critical load)
• 탄성 좌굴(elastic buckling)
• 유효좌굴길이(effective length)
• 유효좌굴길이계수(effective length factor, K)
• 세장비(slenderness ratio)
• 단면2차모멘트(second moment of area, I)
• 탄성계수(Young's modulus, E)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 기둥은 길고 가늘수록 압축을 받다가 어느 순간 갑자기 옆으로 휜다. 이 순간의 하중이 좌굴하중이다. 재료가 강해도 가늘면 먼저 휘므로 좌굴은 강도 문제가 아니라 강성 문제다.

정식 정의는 다음과 같다. 완전한 직선 기둥이 도심에 축하중을 받을 때, 횡변위를 허용하는 비자명 평형상태가 처음 가능해지는 축력을 오일러 좌굴하중(Euler critical load)이라 한다. 이때 재료는 훅의 법칙을 따르는 완전탄성거동으로 가정한다.

핵심 원리는 두 가지다. 첫째, 횡변위 v가 생기면 축력 P가 편심 모멘트 Pv를 만든다. 둘째, 이 모멘트와 휨 강성 EI가 평형을 이루는 조건이 좌굴 조건이다. 이 관계를 2계 미분방정식으로 쓰면 EI\,v''+Pv=0이다(v'': 곡률, EI: 휨강성, P: 축력).

단부조건은 좌굴하중의 크기를 결정한다. 같은 기둥이라도 양단 고정이면 양단 핀보다 좌굴하중이 크다. 이 차이를 하나의 식으로 묶기 위해 유효좌굴길이 KL을 쓴다. 유효좌굴길이는 실제 길이 L 중 좌굴 반파장에 해당하는 길이이며, 변곡점과 변곡점 사이 거리로 볼 수 있다.

3. 등장 배경과 필요성

오일러는 1757년 좌굴 미분방정식으로 중심 압축을 받는 기둥의 탄성좌굴하중을 구했다. 철골 기둥, 교량 주탑, 트러스 압축재가 늘어나면서 세장한 부재의 파괴가 강도 부족이 아니라 좌굴로 일어나는 사례가 많아졌다. 이 때문에 압축재 설계에서 좌굴을 별도로 검토하는 것이 필수가 되었다.

건축구조에서는 압축재의 안정성을 판단하는 기준으로 오일러식이 쓰인다. 실제 부재는 초기변형, 잔류응력, 편심이 있으므로 오일러식은 상한에 가까운 이상값이다. 그래도 탄성 좌굴 경향과 세장비 영향을 설명하는 출발식이므로 설계기준 식의 근거로 남는다. 기술사 답안에서는 오일러식의 가정과 한계를 함께 써야 점수를 받는다.

KL/r

4. 구성요소·원리·절차

오일러 좌굴하중의 구성요소는 재료의 탄성계수(E), 단면의 최소 단면2차모멘트(I), 부재길이(L)와 단부조건에 따른 유효좌굴길이계수(K)이다. 네 값이 정해지면 임계하중이 결정되며, 재료강도는 식에 들어가지 않는다.

임계하중은 재료강도가 아니라 E, I, 유효길이로 결정된다. 이 점은 고강도강을 써도 세장한 기둥의 좌굴하중이 크게 늘지 않는 이유를 설명한다. 강도 저하는 탄성계수와 단면을 바꿔야 얻을 수 있다.

원리는 축력 P에 의한 휨모멘트와 곡률의 관계이다. 횡변위 v(x)가 작다고 가정하면 미소변형 이론에서 $EI\,v''+Pv=0$ 이 성립한다. 여기서 E는 탄성계수(MPa), I는 단면2차모멘트(mm⁴), v''는 처짐의 2계 도함수(1/mm), P는 축압축력(N)이다. 이 식의 해가 0이 아닌 횡변위를 가질 때의 P가 임계하중이다. 즉 좌굴은 강도의 문제가 아니라 평형의 분기(bifurcation) 문제이다.

절차는 다음과 같다.

• 부재의 단부조건을 정하고 임의의 x에서 모멘트 평형식을 세운다.
• 곡률 관계 $EI\,v''=-Pv$ 로 2계 미분방정식을 만든다.
• $k=\sqrt{P/EI}$ 로 치환하여 $v=A\sin kx+B\cos kx$ 의 일반해를 구한다.
• 경계조건을 대입하여 상수 A, B에 대한 연립방정식을 세운다.
• 비자명해 조건(행렬식 = 0)으로부터 $kL=n\pi$ 을 얻는다.
• 가장 작은 n=1을 택해 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{L^2}$ 를 구한다.

일반 단부조건에서는 유효길이 $L_e=KL$ 를 써서 $P_{cr}=\dfrac{\pi^2EI}{(KL)^2}$ 로 쓴다. 양단 핀(K=1.0), 일단 고정·타단 자유(K=2.0), 양단 고정과 일단 고정·타단 힌지의 K 값은 관련 기준이 정한 값을 쓴다. 유효길이는 좌굴 형상의 인접 변곡점 사이 거리로 이해하면 된다. 변곡점 간격이 짧을수록 임계하중이 커진다.

좌굴 모드는 하중이 P_cr에 이를 때 나타나는 변형형상이다. 양단 핀 기둥의 n차 모드 형상은 $v_n(x)=A_n\sin\dfrac{n\pi x}{L}$ 이고, 각 모드의 임계하중은 $P_n=\dfrac{n^2\pi^2EI}{L^2}$ 이다. 1차 모드는 반파장 1개, 2차는 2개, 3차는 3개의 반파를 가진다. 모드 번호가 커지면 하중은 n²배로 커지지만, 실제 기둥은 가장 낮은 1차 모드에서 좌굴한다.

도식

5. 관련 법령·기준·표준

오일러 좌굴하중은 탄성 이론식이므로 그 자체가 법령으로 정해진 값은 아니다. 건축구조에서는 이 식을 기초로 하여 설계기준의 압축재 강도식에 반영한다. 국내에서는 건축구조기준(KDS)의 강구조 설계기준 압축재 조항과 콘크리트구조 설계기준의 세장비 규정이 대표적이다. 조항 번호는 확실한 범위에서만 쓴다.

강재의 경우 탄성좌굴과 비탄성좌굴의 경계는 한계세장비로 구분한다. 한계세장비보다 세장비가 큰 영역에서 오일러식이 적용되고, 작은 영역에서는 비탄성 좌굴식이 적용된다. 설계에서는 임계응력이 비례한도를 넘지 않는 범위에서 오일러식을 쓴다.

개정 연혁: 설계기준의 압축재 강도식은 강구조 설계기준의 개정마다 세부 식이 바뀌었다. 과거 허용응력설계에서 쓰던 안전율 기반 식은 한계상태설계로 이행하면서 공칭강도와 저항계수로 정리되었다. 오일러 식 자체는 바뀌지 않았고, 그 위에 덧씌운 비탄성 보정식과 저항계수가 개정 대상이다.