보 요소 강성행렬

보 요소 강성행렬의 정의

보 요소 강성행렬은 부재 양단의 변위와 회전에 대응하는 단부력 관계를 행렬로 나타낸 것이다.

쉽게 말하면, 양 끝을 움직이거나 돌렸을 때 끝에 걸리는 힘과 모멘트를 표로 정리한 것이다.

정식으로는 절점력 벡터 f와 절점변위 벡터 d가 f = k d로 연결될 때, k를 부재 강성행렬이라 한다.

이 행렬을 부재마다 만들어 전체 구조에 겹쳐 쌓으면 구조물 전체 강성행렬이 된다.

자유도와 구성요소

양단의 절점 변위와 그에 대응하는 절점력이 한 쌍을 이룬다.

단면이차모멘트 I와 탄성계수 E를 곱한 휨강성 EI가 강성행렬의 휨 항을 결정한다.

자유도는 독립적으로 움직일 수 있는 변위 성분의 개수다.

강성행렬의 크기는 자유도 수와 같다. 휨만 보면 4×4, 축방향까지 보면 6×6이다.

등단면 보의 강성행렬

등단면 보의 4×4 강성행렬은 휨 방정식 EI v'' = M(x)를 경계조건과 함께 풀어 얻는다.

모든 항은 EI/L³ 에 계수 12, 6L, 4L², 2L² 를 곱한 꼴이다.

첫 번째 열은 v1 = 1 일 때의 절점력이고, 두 번째 열은 θ1 = 1 일 때의 절점력이다.

강성행렬은 대칭이다. 즉 k_ij 와 k_ji 가 같다.

부재에서 전체 강성행렬로

구조를 한 번에 풀면 방정식이 너무 커진다. 그래서 부재 단위로 쪼갠다.

각 부재의 요소 강성행렬을 구한 뒤 좌표 변환으로 전체 좌표계에 맞춘다.

같은 절점 번호의 항끼리 더하는 방식을 직접강성법이라 한다.

지지 방향 변위는 0이므로 해당 행과 열을 제거해 축소 방정식을 만든다.

수치 예제

가상의 보로 값을 대입해 본다. 길이 4000 mm, 탄성계수 200 GPa, I는 2.0×10⁸ mm⁴이다.

EI/L³ 은 200000 × 2.0×10⁸ ÷ 4000³ 이므로 625 N/mm 가 된다.

수직 강성 k22 는 7500 N/mm 이고, k23 은 1.5×10⁷ N·mm/rad 이다.

계산 결과의 단위가 N/mm 와 N·mm/rad 로 정리되는지 확인한다.

비교와 시험 포인트

자유도가 늘수록 강성행렬의 차수가 커진다.

평면 보-기둥 요소는 축강성 EA/L 항이 추가되어 6×6 행렬이 된다.

변단면 보는 적분 또는 요소 분할로 강성을 구해야 한다.

채점에서는 행렬 크기와 각 항의 차원이 맞는지를 먼저 본다.

정리

정리하면, 보 요소 강성행렬은 부재의 변위와 힘을 잇는 행렬이다.

등단면 보의 항은 EI/L³ 에 계수를 곱해 구성된다.

강성행렬은 대칭이고, 직접강성법으로 전체 행렬에 조립된다.