보 요소 강성행렬

왜 배우는가: 보 요소 강성행렬은 구조물 전체 강성행렬을 조립하는 출발점이며, 강성법·변위법 문제에서 부재 단위 행렬을 직접 유도하게 하는 문항이 반복해서 출제된다. 횡방향 변위와 회전이 연성되는 구조를 이해해야 트러스·라멘 해석으로 확장할 수 있다.

출제 이력: 제91회 3교시 1번, 제90회 4교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

보 요소 강성행렬은 부재 양단의 변위와 회전에 대응하는 단부력 관계를 행렬로 나타낸 것이다.

• 보 요소
• 강성행렬
• 단면이차모멘트(Second Moment of Area, I)
• 휨강성(EI)
• 처짐각법
• 직접강성법
• 자유도(Degree of Freedom, DOF)

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 보의 양 끝을 얼마나 움직이거나 돌리면 끝에 얼마의 힘과 모멘트가 걸리는지를 한 장의 표로 정리한 것이다. 이 표가 강성행렬이다. 부재 하나에 대해 만들고, 이를 전체 구조에 겹쳐 쌓으면 구조물 전체 강성행렬이 된다.

정식으로는 부재 양단의 절점력 벡터 {f}와 절점변위 벡터 {d}가 {f} = [k]{d} 로 연결될 때, [k]를 부재 강성행렬이라 한다. 보 요소는 축방향 변위와 횡방향 변위, 회전을 함께 가지므로 평면 보-기둥 요소는 2절점 6자유도로 표현한다.

단면이차모멘트(I)는 단면이 휨에 얼마나 저항하는지를 나타내는 기하량이다. 탄성계수 E와 곱한 휨강성(EI)이 강성행렬의 휨 항을 결정한다. 휨강성이 클수록 같은 하중에 대한 변형이 작아진다.

자유도는 독립적으로 움직일 수 있는 변위 성분의 개수다. 평면 보 요소의 양단에 수직 변위와 회전이 있으면 자유도는 4개가 되고, 축방향까지 포함하면 6개가 된다. 강성행렬의 크기는 자유도 수와 같다.

연속체 이론에서 보 요소 강성행렬은 변위 함수를 가정해 얻는다. 직선 보의 경우 처짐각법에서 쓰는 단부 모멘트와 전단력 식을 그대로 행렬로 묶는다. 단면이차모멘트가 길이 방향으로 변하는 경우에는 I(x)를 적분에 포함시키므로 해석식이 달라진다.

3. 등장 배경과 필요성

구조물을 한 번에 풀면 방정식의 크기가 너무 커진다. 그래서 구조를 부재 단위로 쪼개고, 각 부재의 강성을 먼저 구한 뒤 절점에서 합치는 방식이 쓰인다. 이를 직접강성법(Direct Stiffness Method)이라 한다.

이 방식은 컴퓨터 해석이 보편화되면서 표준이 되었다. 유한요소법도 같은 원리를 사용한다. 부재 강성행렬을 정확히 유도하지 못하면 전체 해석 결과가 틀리므로, 기술사 시험에서는 유도 과정과 자유도 배치를 함께 묻는다.

변단면 보는 I가 위치에 따라 바뀌므로 등단면 공식만으로는 부족하다. 이때는 형상함수나 유연도 적분을 이용해 강성 계수를 구해야 한다. 실무에서 부재 강성 보정이 필요한 이유가 여기에 있다.

4. 구성요소·원리·절차

보 요소 강성행렬은 부재 양단의 변위(수직변위, 처짐각)와 그에 대응하는 절점력(전단력, 모멘트)의 관계를 나타낸다. 처짐각법과 강성행렬법에서 부재의 요소 강성행렬을 먼저 구하고, 이를 전체 좌표계로 변환해 전체 강성행렬에 중첩한다.

구성요소를 표로 정리하면 다음과 같다.

강성계수는 한 자유도에만 단위 변위를 주었을 때 각 절점력을 구해 얻는다. 이것이 강성행렬의 열이 된다. 등단면 보에서 수직변위와 처짐각의 연성 항은 부재 길이의 영향을 받는다.

원리는 다음과 같다. 탄성 범위에서 중첩이 성립하므로 절점력은 변위의 선형 함수다. 따라서 \{F\}=[K]\{u\} 로 쓸 수 있다. 여기서 [K] 가 요소 강성행렬이다. 변형 보의 휨 방정식 EI\,v''=M(x) 를 경계조건과 함께 풀면 4×4 강성행렬의 각 항이 나온다.

등단면 보의 4×4 강성행렬은 다음과 같다.

$[K]=\frac{EI}{L^3}\begin{bmatrix}12&6L&-12&6L\\6L&4L^2&-6L&2L^2\\-12&-6L&12&-6L\\6L&2L^2&-6L&4L^2\end{bmatrix}$

여기서 E 는 탄성계수(MPa), I 는 단면2차모멘트(㎜⁴), L 은 부재 길이(㎜)다. 첫 번째 열은 v_1=1 일 때의 절점력이고, 두 번째 열은 \theta_1=1 일 때의 절점력이다.

단면이 길이 방향으로 변하는 경우에는 I(x) 가 상수가 아니므로 위 식을 쓸 수 없다. 이때는 가상일 원리나 처짐 함수를 가정한 유연도 해석으로 강성계수를 구한다. 강성행렬의 열 의미는 같다.

절차는 다음과 같다.

• 부재의 국부 좌표계에서 절점 자유도를 정한다.
• 한 자유도에 단위 변위 1을 주고 나머지 변위는 0으로 둔다.
• 고정단 조건과 변형 조건으로 각 절점력을 구한다.
• 얻은 절점력을 열로 배열해 요소 강성행렬을 조립한다.
• 회전 변환행렬 [T] 로 전체 좌표계 행렬 [K]=[T]^T[k][T] 를 만든다.
• 전체 강성행렬에 직강성법으로 같은 절점 번호의 항을 더한다.

축방향 변위와 부재 회전각까지 포함하는 6×6 보 요소 행렬은 축강성 EA/L 을 축방향 항에 더하고, 휨 항은 위 4×4 행렬을 수직변위·처짐각 자리에 놓아 얻는다.

5. 관련 법령·기준·표준

보 요소 강성행렬은 법령 조문이 아니라 구조역학의 해석 이론이다. 설계 기준에서는 해석 결과가 허용 응력과 처짐 한계를 만족하는지 검토한다. 해석에 쓰는 기준 수치는 다음 표와 같다.

강성행렬의 대칭성은 상반원리에서 나온다. 따라서 k_{ij}=k_{ji} 가 성립한다. 한계 조건으로는 변위가 작아 기하 비선형이 없다고 가정한다.

국내 설계에서는 구조물 해석 결과를 「건축구조기준」(국토교통부 고시) 및 콘크리트·강구조 설계기준에 따라 사용한다. 처짐 한계는 설계기준에서 부재 종류별로 정한 값을 적용한다. 현행 기준의 세부 번호와 개정 연도는 이 절에서 단정하지 않는다.

수치 계산 예로, E=2.0\times10^5 MPa, I=1.0\times10^8 ㎜⁴, L=5000 ㎜ 인 보의 12EI/L^3 은 다음과 같다.

$\frac{12\times2.0\times10^5\times1.0\times10^8}{(5000)^3}=\frac{2.4\times10^{14}}{1.25\times10^{11}}=1920\ \text{N/mm}$

결과는 수 kN/mm 수준으로 보의 강성으로서 상식 범위다.

6. 유형과 비교

보 요소 강성행렬은 해석 방법과 좌표계, 자유도 수에 따라 여러 형태로 나뉜다. 답안에서는 기본 보 요소, 축력과 휨을 함께 받는 보-기둥 요소, 공간 보 요소를 구분하여 제시한다.

표는 자유도가 늘어날수록 강성행렬의 차수가 커짐을 보여준다. 평면 보-기둥 요소는 축방향 변위와 휨 변위가 함께 있으므로 축강성 EA/L 항이 추가된다.

• 평면 휨 보 요소: 축변형을 무시하고 12EI/L^3 등 휨 항만 남긴다.
• 평면 보-기둥 요소: 축력과 휨이 연성되지 않는 경우 두 강성행렬을 단순 합산한다.
• 공간 보 요소: 비틀림 강성 GJ/L 과 두 축 방향 휨 강성을 독립적으로 배치한다.