변형에너지

정의

변형에너지는 외력이 구조물에 한 일이 내부에 탄성 변형의 형태로 저장된 에너지다.

선형 탄성 구조에서 하중 P 와 대응 변위 δ 가 있으면 U 는 P 와 δ 의 곱의 절반이다.

여기서 U 는 변형에너지, P 는 하중, δ 는 대응 변위다.

부재별 식

구조물 내부에 저장된 에너지는 부재의 내력에 따라 나눠 계산한다.

트러스 부재는 축력 항, 보와 기둥은 휨 항을 쓴다.

짧고 깊은 보에서는 전단 항도 무시할 수 없다.

탄성 구조물에서는 외력이 한 일과 내부 변형에너지가 같다. 이를 이용해 카스틸리아노 정리로 변위를 구한다.

예제 계산

예제로 확인한다. 길이 4 m, 단면적 500 mm², 탄성계수 200 GPa, 축력 100 kN 인 인장 부재다.

먼저 단위를 N과 mm로 맞춘다. 축력은 100×10³ N, 길이는 4000 mm다.

식에 대입하면 분자는 10¹⁰ × 4000, 분모는 2 × 10⁸ 이다.

계산하면 2×10⁵ N·mm 이고, 이는 200 J 이다.

검산으로 신장량 δ = NL/(EA) = 4 mm 를 구해 U = ½Nδ 를 계산해도 같은 값이 나온다.

헷갈리는 점

헷갈리기 쉬운 부분은 비선형 재료다. 응력과 변형도가 비례하지 않으면 σ = Eε 를 쓸 수 없다.

이때는 ½σε 대신 응력-변형도 곡선 아래 면적을 직접 적분한다.

예를 들어 σ = kε² 이면 단위 체적당 에너지 밀도는 kε³/3 이다.

½σε 는 선형 재료에만 쓰는 식이라는 점을 기억한다.

흔한 실수

변형에너지 계산에서 자주 틀리는 실수를 짚는다.

첫째는 변형에너지를 응력이나 힘과 혼동하는 실수다. 단위는 N·m, 즉 J 이다.

둘째는 비선형 재료에 선형 식을 그대로 쓰는 실수다. 셋째는 짧고 깊은 보의 전단 항을 무시하는 실수다.

넷째는 힘 방향을 틀리는 실수다. 인장과 압축 모두 에너지는 양수로 저장되고 부호는 변위 방향에만 쓴다.

정리

앞 문제의 정답은 같은 크기의 양수다. 인장과 압축 모두 에너지는 양수로 저장된다.

변형에너지는 외력이 한 일과 같으며 부재 형태에 맞게 적분한다.

축력, 휨, 전단 항을 각각 구해 더하면 전체 변형에너지가 된다.

레질리언스와 인성의 차이도 함께 기억한다.