변형에너지

왜 배우는가: 변형에너지는 구조물이 외력에 의해 저장하는 에너지로, 카스틸리아노 정리·단위하중법·최소일법 등 처짐과 부정정 해석의 출발점이다. 시험에서는 트러스·보·기둥의 변형에너지 계산과 전단 영향 비교로 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제133회 4교시 2번, 제132회 3교시 6번, 제115회 4교시 3번, 제101회 2교시 1번, 제99회 2교시 1번, 제96회 2교시 2번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄에 쓸 정의: 변형에너지는 외력이 구조물에 한 일이 탄성 변형의 형태로 내부에 저장된 에너지다.

키워드

• 변형에너지(Strain Energy)
• 변형에너지 밀도
• 탄성 변형에너지
• 레질리언스(Resilience)
• 인성(Toughness)
• 카스틸리아노 정리
• 단위하중법
• 보의 휨·전단 변형에너지

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 물건을 밀어서 용수철을 누르면 누른 만큼 일을 한 것이고, 그 일은 용수철 안에 저장된다. 손을 떼면 저장된 에너지가 다시 일로 돌아온다. 구조물도 같다. 하중을 받아 변형하면 외력이 한 일이 부재 내부에 저장되고, 하중이 제거되면 탄성 범위에서는 그 에너지가 회복된다.

정식 정의로는, 외력이 한 일 U 가 변위와 힘의 곱의 절반으로 저장된다고 본다. 선형 탄성 구조에서 하중 P 와 대응 변위 \delta 에 대해

$U=\frac{1}{2}P\delta$

여기서 U 는 변형에너지(N·mm 또는 kN·m), P 는 하중(N), \delta 는 대응 변위(mm)다.

핵심 용어를 풀이하면 다음과 같다.

변형에너지(Strain Energy) 는 탄성 변형 상태에서 부재 내부에 저장된 에너지의 총량이다. 부재 축력 N, 휨모멘트 M, 전단력 V, 비틀림 T 에 의한 에너지의 합으로 구한다.

변형에너지 밀도(Strain Energy Density) 는 단위 체적당 저장된 변형에너지다. 일축 응력 상태에서 응력 \sigma 와 변형도 \varepsilon 로 u=\frac{1}{2}\sigma\varepsilon 로 표현하며 단위는 J/㎥ 이다.

레질리언스(Resilience) 는 탄성 한계까지 재료가 흡수할 수 있는 변형에너지 밀도다. 항복점까지 흡수하는 능력을 말한다.

인성(Toughness) 는 파괴가 일어날 때까지 재료가 흡수하는 변형에너지 밀도다. 응력-변형도 곡선의 면적으로 나타낸다.

3. 등장 배경과 필요성

구조 해석에서 힘과 변위는 한 쌍으로 움직인다. 평형 방정식만으로 풀 수 없는 부정정 구조가 많아서, 에너지 원리를 이용하면 변위를 직접 구하거나 미지 반력을 정할 수 있다. 그래서 변형에너지는 해석의 기준이 되었다.

실무에서는 처짐 산정, 최소일 원리에 의한 부정정 부재력 계산, 충격하중과 동하중의 에너지 평가에 쓰인다. 특히 설계기준에서 허용 처짐을 검토할 때 모멘트 항만으로 처짐을 구할지, 전단 항을 함께 볼지 판단하는 근거가 된다.

전단 변형은 짧고 깊은 보에서 커진다. 그래서 세장비가 작은 보에서는 전단에 의한 변형에너지를 무시하면 처짐이 과소평가될 수 있다. 이 점은 캔틸레버 처짐 문제와 바로 이어진다.

변형에너지 방법은 부재 내력을 에너지로 환산해 처짐과 부정정 반력을 한꺼번에 구하는 해석 도구다.

4. 구성요소·원리·절차

변형에너지(Strain Energy)는 외력이 한 일 중 구조체 내부에 저장되어 하중을 제거하면 돌려받을 수 있는 부분이다. 탄성 구조물에서는 외력에 의한 일과 내부 변형에너지가 같다(외력일 = 변형에너지). 따라서 변형에너지를 구하면 하중과 변위의 관계를 에너지 원리로 풀 수 있다.