변단면 캔틸레버 처짐

정의

단면이 길이 방향으로 변하는 캔틸레버가 변단면 캔틸레버다.

휨강성은 EI이며, 변단면에서는 위치 x의 함수인 EI(x)가 된다.

그래서 일정단면 공식을 그대로 쓰면 처짐을 틀리게 구한다.

구조와 원리

변단면 처짐은 가상일 원리로 구한다.

처짐은 모멘트 곱을 EI(x)로 나눈 값을 전 구간 적분해 구한다.

구간을 나누면 적분은 구간별 합으로 바뀐다.

계산 예제

예제로 자유단에 집중하중 P를 받는 캔틸레버를 본다.

자유단 쪽 절반은 I₂, 고정단 쪽 절반은 I₁이다.

두 구간을 적분해 더하면 δA는 3.0 mm가 된다.

같은 조건의 일정단면 처짐은 5.33 mm이므로 α는 약 1.78이다.

일정단면과 비교

일정단면 값 5.33 mm와 변단면 값 3.0 mm를 비교한다.

비율 α는 일정단면 처짐을 변단면 처짐으로 나눈 값이다.

α가 1.78이므로 일정단면 해석은 처짐을 과대 평가한다.

헷갈리는 점

답안에서 자주 틀리는 부분을 짚고 넘어간다.

구간 I를 한 값으로 고정하는 실수가 가장 많다.

α는 일정단면 처짐을 분자, 변단면 처짐을 분모에 둔다.

직접 풀기

앞서 본 단면2차모멘트를 적용해 직접 풀어 보자.

직사각형 단면의 I는 높이 h의 세제곱에 비례한다.

이 문제는 I = bh³/12에서 높이만 두 배로 바꾸면 풀린다.

정리

변단면 처짐은 EI(x)를 구간별로 적분하는 가상일법으로 구한다.

일정단면 결과와의 비율 α로 단면 변화의 영향을 본다.

자유단 쪽 단면이 작을수록 처짐이 커진다는 점을 기억한다.