변단면 캔틸레버 처짐

왜 배우는가: 변단면 캔틸레버의 처짐은 단면2차모멘트가 길이에 따라 변하는 부재를 다루는 기본 문제라서, 부재 강성이 위치마다 달라질 때 적분식을 어떻게 세우는지 보여 준다. 기술사 구조역학 시험에서는 일정단면 처짐과의 비를 묻는 형태로 반복해서 출제되므로, 정의와 적분 원리를 정확히 익혀야 한다.

출제 이력: 제138회 3교시 1번, 제109회 2교시 1번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

변단면 캔틸레버 처짐은 단면2차모멘트가 부재 축 방향 위치 x에 따라 변하는 캔틸레버의 휨강성을 반영하여, 단위하중법 또는 모멘트-곡률 적분으로 자유단의 처짐을 구하는 방법이다.

키워드: 변단면 부재, 휨강성(EI), 단면2차모멘트(I), 모멘트 곡률, 단위하중법, 가상일의 원리, 처짐의 비, 자유단 처짐

2. 개념 풀이

쉽게 말하면, 보의 두께가 한쪽 끝에서 다른 쪽 끝으로 갈수록 바뀌는 캔틸레버의 처짐을 구하는 문제다. 같은 하중이라도 단면이 두꺼운 구간은 덜 휘고 얇은 구간은 더 휜다. 따라서 처짐을 구할 때는 구간마다 다른 강성을 반영해야 한다.

정식으로는 부재의 휨강성을 EI로 정의한다. 여기서 E는 탄성계수, I는 단면2차모멘트다. 휨강성은 휨변형에 저항하는 정도를 나타내며, 일정단면 부재에서는 상수이지만 변단면 부재에서는 x의 함수 EI(x)가 된다. 휨모멘트 M(x), 처짐 곡선 v(x)의 관계는 다음과 같다.

$\frac{d^2v}{dx^2} = -\frac{M(x)}{EI(x)}$

여기서 v는 처짐(m), M은 휨모멘트(N·m), EI는 휨강성(N·m²)이다. 변단면에서는 EI가 x에 따라 변하므로, 이 식을 그대로 적분하거나 가상일 식에 EI(x)를 넣어 적분한다.

단면2차모멘트는 단면의 형상이 휨에 얼마나 효율적으로 저항하는지를 나타내는 기하량이다. 직사각형 단면은 I = bh³/12로 주어지며, 폭 b와 높이 h 중 높이가 제곱에 비례하여 크게 작용한다. 단면의 높이가 두 배가 되면 I는 여덟 배가 된다. 이 특성 때문에 변단면 부재에서 높이 변화가 처짐에 민감하게 나타난다.

단위하중법은 자유단에 가상의 단위하중 1을 작용시켜 실제 하중에 의한 모멘트와 곱하여 적분하는 방법이다. 변단면 캔틸레버에서는 적분 구간을 나누어 각 구간의 I(x)를 대입한다. 이 방법은 단면이 구간별로 일정하거나 선형으로 변할 때 계산이 정리되어 답안 작성에 적합하다.

3. 등장 배경과 필요성

실제 구조물에서는 구조 효율과 공간 요구를 맞추기 위해 보나 기둥의 단면을 길이 방향으로 바꾼다. 단부로 갈수록 단면을 줄이면 자중과 재료량을 줄일 수 있지만, 일정단면 공식을 그대로 쓰면 처짐을 과소 또는 과대 평가하게 된다.

이 때문에 변단면 부재의 처짐을 정확히 계산하는 방법이 필요하다. 일정단면 결과와의 비를 구하면, 단면 변화가 처짐을 얼마나 증가 또는 감소시키는지 한눈에 파악할 수 있다. 설계 단계에서는 이 비를 이용해 간이 보정 계수를 정하거나, 변단면을 적용했을 때의 강성 손실을 평가한다.

또한 휨강성이 변하는 부재의 처짐 해석은 구조역학의 기본 적분 개념을 적용하는 좋은 사례다. 단위하중법, 모멘트 면적법, 가상일의 원리가 모두 여기에 연결되므로 시험에서 계산 능력과 원리 이해를 함께 평가하기에 적합하다.

4. 구성요소·원리·절차

변단면 캔틸레버의 처짐은 부재 축을 따라 단면2차모멘트가 변하므로 휨강성 EI(x)가 위치마다 다르다는 점에서 출발한다. 일정단면 부재의 처짐 공식을 그대로 쓰면 틀리므로, 구간별로 EI(x)를 나누어 적분하거나 단위하중법(가상일의 원리) 을 적용한다.

구성요소를 표로 정리하면 다음과 같다.

각 표의 칸은 구성 요소의 정의와 역할을 짧게 적은 것이다. 변단면 캔틸레버에서는 \bar{M} 이 단위하중 1의 작용점 A에서 고정단까지 선형으로 변하므로, 가상일 적분의 피적분 함수는 M(x)\bar{M}(x)/EI(x) 가 된다.

원리는 다음과 같다. 외력 일과 내부 변형에너지가 같다는 조건에서 처짐을 얻는다. 가상일 원리에 따르면 A점의 처짐은 다음 식으로 구한다.

$\delta_A=\int_0^L \frac{M(x)\,\bar{M}(x)}{E\,I(x)}\,dx$

여기서 \delta_A는 A점 처짐(m), M(x)는 실제 하중에 의한 휨모멘트(N·m), \bar{M}(x)는 A점 단위하중에 의한 휨모멘트(N·m/N), E는 탄성계수(N/m²), I(x)는 위치 x의 단면2차모멘트(m⁴), L은 부재 길이(m)다.

변단면을 구간으로 나누면 적분은 구간 합으로 바뀐다. 구간 AB가 변단면, 구간 BC가 일정단면인 경우 다음과 같이 나눈다.

$\delta_A=\int_{AB}\frac{M\bar{M}}{E\,I_1(x)}dx+\int_{BC}\frac{M\bar{M}}{E\,I_2}dx$

절차는 다음과 같다.

• 부재를 구간별 단면으로 나누고 각 구간의 I(x) 식을 쓴다.
• 실제 하중 P에 의한 M(x)를 고정단 기준으로 구한다.
• 구하는 점 A에 단위하중을 놓고 \bar{M}(x)를 구한다.
• 구간별 적분을 계산하고 E로 나누어 \delta_A를 얻는다.
• 일정단면 결과와 비율을 취해 \alpha를 구한다.

변단면 처짐은 EI(x)를 구간별로 적분하는 가상일법으로 구한다

도식으로 절차를 정리하면 답안지에 그대로 옮길 수 있다.

5. 관련 법령·기준·표준

변단면 캔틸레버 처짐은 건축구조기준의 법령 조문이 아니라 구조역학의 해석 원리다. 따라서 적용 기준은 구조해석 이론과 설계 실무의 처짐 허용 기준이다. 설계 관점에서 처짐 검토는 다음 기준을 따른다.

기준 수치는 위 표의 집중하중 처짐 공식 하나로 충분하다. 허용 처짐 한도(스팬 기준 비율 등)는 건축구조기준의 사용성 조항을 따르며, 이 절에서는 해석 식만 다룬다.

개정 연혁은 이 개념과 직접 연결된 법령이 없으므로 쓰지 않는다. 구조역학의 가상일 원리와 단면2차모멘트 식은 고전 이론이며 연도 변화가 없다.

단면2차모멘트는 고정단 높이가 클수록 급격히 커진다. 높이가 2배가 되면 I는 8배가 되므로, 변단면에서 고정단 쪽 높이를 키우면 처짐 감소 효과가 매우 크다. 이 원리는 다음 절의 비율 \alpha 계산에서 그대로 나타난다.

높이 2배 시 I는 8배

이 값은 I=bh^3/12 의 직접 계산 결과이며, 3제곱 관계는 단면 설계의 핵심 판단 근거다.

6. 유형과 비교

변단면 캔틸레버의 처짐을 구하기 전에 부재의 강성 분포가 어떤 형태인지 먼저 분류해야 한다. 단면 2차 모멘트 I(x)가 자유단 방향으로 일정하게 변하는지, 구간별로 다른 값을 가지는지에 따라 적분 형태와 계산 방법이 달라진다. 실무와 시험에서 주로 다루는 유형은 아래와 같이 나뉜다.

표의 세 유형은 모두 같은 가상일 원리에서 출발한다. 차이는 M(x)m(x)/EI(x)의 적분 구간과 I(x)의 표현 방식뿐이다. 따라서 구간이 나뉘는 문제는 먼저 구간별 I 값을 정리하고, 그 다음 적분을 나누어 쓰는 것이 정확하다.

단면 형상에 따라 I 값 표현도 달라진다. 직사각형 단면은 I = bh³/12를 쓰고, 높이가 선형으로 변하는 경우 h(x)를 x의 1차식으로 놓은 뒤 I(x) = b h(x)³/12를 적분에 넣는다. 원형이나 삼각형 단면은 형상별 I 식을 따로 쓴다.