고유주기와 질량·강성의 관계

고유주기란

고유주기는 구조물이 외란 없이 자유진동할 때 한 사이클을 완료하는 데 걸리는 시간이다.

고유주기는 질량 m과 횡강성 k로 결정되며, 단위는 초(s)다.

횡강성 k는 수평 하중을 받을 때 단위 변위당 필요한 힘이며, 단위는 N/m다.

질량과 강성의 영향

질량이 커지면 주기는 길어진다. 무거운 구조물은 느리게 움직이기 때문이다.

강성이 커지면 주기는 짧아진다. 스프링이 세면 빠르게 돌아오기 때문이다.

주기의 제곱은 질량에 비례하고 강성에 반비례한다. 두 값을 함께 봐야 한다.

계산 예제: 질량 구하기

예제를 본다. 테이블만 있을 때 주기는 0.5초고, 200 N 플레이트를 고정하면 0.75초다.

플레이트를 고정해도 강성은 변하지 않으므로, 두 식의 비에서 질량비만 남는다.

2.25 = (W + 200) / W를 풀면 테이블 무게 W는 160 N이다.

질량은 m = W/g = 160/9.81 ≈ 16.31 kg이다. 강성은 T1 식에 대입해 구한다.

기둥 높이와 강성

기둥 강성은 높이의 세제곱에 반비례한다. 높이가 커지면 강성은 줄어든다.

기둥 높이를 절반으로 줄이면 강성은 2의 세제곱, 즉 8배가 된다.

고유주기를 그대로 두려면 질량도 8배가 되어야 한다. 식의 방향이 맞는지 확인한다.

헷갈리는 점과 출제 방식

시험에서는 두 상태의 주기 차이로 질량과 강성을 구하는 연립방정식이 자주 나온다.

질량이 늘면 주기는 길어지고, 강성이 늘면 주기는 짧아진다. 진동수는 주기의 역수다.

흔한 실수는 주기와 진동수를 섞는 것이다. 공식에 넣기 전에 단위를 먼저 맞춘다.

플레이트를 고정하면 질량만 늘고 강성은 그대로다. 고정의 의미를 먼저 읽는다.

직접 풀어 보기

이제 직접 풀어 보자. 방금 배운 비례 관계를 그대로 적용한다.

질량이 4배가 되는 경우다. 답을 먼저 생각해 본다.

정답과 정리

정답은 2배다. 질량이 4배가 되면 주기는 √4 = 2배가 된다.

고유주기는 질량의 제곱근에 비례하고, 강성의 제곱근에 반비례한다.

두 상태의 주기로 미지수를 구할 때는 강성이 변하지 않는지 먼저 확인한다.

기둥 높이가 절반이면 강성은 8배다. 채점은 식, 단위, 최종 값 순서로 본다.