고유주기 질량·강성 관계

왜 배우는가: 고유주기는 구조물의 동적 응답과 공진 여부를 판단하는 기본 지표이며, 질량과 강성이 주기를 어떻게 바꾸는지 이해해야 지진하중·기계진동 문제를 풀 수 있다. 시험에서는 질량과 강성을 미지수로 두고 두 상태의 주기 차이로 연립방정식을 세우는 형태로 반복 출제된다.

출제 이력: 제111회 4교시 3번, 제99회 4교시 6번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄 정의: 고유주기는 구조물이 외란 없이 자유진동할 때 한 사이클을 완료하는 데 걸리는 시간이며, 질량 m과 횡강성 k로 결정된다.

키워드

• 고유주기(natural period, T)
• 고유진동수(natural frequency, f)
• 질량(mass, m)
• 횡강성(lateral stiffness, k)
• 비감쇠 자유진동(undamped free vibration)
• 단자유도계(single degree of freedom, SDOF)
• 원진동수(circular frequency, ω)
• 질량 참여(mass participation)

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 구조물을 한 번 밀어 놓았을 때 제자리로 돌아오는 데 걸리는 시간이다. 질량이 무거우면 느리게 움직이고, 스프링이 세면 빠르게 돌아온다. 그래서 주기는 질량이 커질수록 길어지고, 강성이 커질수록 짧아진다.

정식 정의는 다음과 같다. 고유주기는 감쇠가 없는 단자유도계가 자유진동할 때 한 주기를 완료하는 시간이다. 단위는 초(s)다. 원진동수 \omega(rad/s)와 고유진동수 f(Hz)는 다음 관계를 가진다.

$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},\quad T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},\quad f=\frac{1}{T}$

여기서 m은 질량(kg), k는 횡강성(N/m), \omega는 원진동수(rad/s), T는 고유주기(s)다.

왜 이런 관계가 나오는지는 운동방정식에서 출발한다. 질량 m인 계의 운동방정식은 m\ddot{u}+ku=0이다. 변위를 u=A\sin\omega t로 두면 \omega^2=k/m이 된다. 즉 고유주기의 제곱은 질량에 비례하고 강성에 반비례한다. 이 비례 관계가 질량과 강성을 동시에 구하는 문제의 출발점이다.

핵심 용어를 정리하면 다음과 같다.

• 고유주기: 한 사이클의 시간, 단위 s.
• 고유진동수: 1초당 사이클 수, 단위 Hz. 주기의 역수다.
• 횡강성: 수평 하중을 받을 때 단위 변위당 필요한 힘, 단위 N/m.

3. 등장 배경과 필요성

구조물은 바람이나 지진 같은 동적 하중을 받는다. 정적 설계만으로는 하중이 주기적으로 반복될 때 생기는 응답 증폭을 설명하지 못한다. 그래서 구조물의 고유주기를 먼저 구해야 하중 주기와 비교해 공진 가능성을 판단할 수 있다.

설계 기준도 이 값을 쓴다. 지진 응답계수나 풍하중의 동적 증폭은 구조물의 고유주기에 따라 달라지므로, 주기 산정이 설계 입력을 정한다. 한편 주기는 질량과 강성의 함수이므로, 실측 주기로부터 강성을 역산하거나 비구조요소를 추가했을 때 주기가 어떻게 변하는지를 예측하는 데도 쓰인다.

이 관계를 알면 다음과 같은 문제를 풀 수 있다. 두 상태의 주기를 알고 있을 때 미지의 질량이나 강성을 구하는 문제, 기둥 높이를 바꾸었을 때 강성이 어떻게 변하는지 계산하는 문제다. 강성이 k\propto 1/h^3처럼 기하 조건에 따라 바뀌는 경우에도 같은 원리를 적용한다.

4. 구성요소·원리·절차

고유주기 관계를 계산에 쓰려면 먼저 구조계를 질량 요소와 강성 요소로 나누어 본다. 단자유도계에서 질량 m(kg)과 횡강성 k(N/m)이 고유주기 T를 정한다. 두 값은 서로 반대 방향으로 작용한다. 질량이 커지면 주기가 길어지고, 강성이 커지면 주기가 짧아진다.

표 해설: 질량과 강성은 주기 식 안에서 제곱근으로 결합한다. 그래서 질량과 강성을 동시에 바꾸면 주기 변화를 한 식으로 추적할 수 있다. 감쇠는 감쇠비가 작은 일반 구조물에서 고유주기를 거의 바꾸지 않는다.

원리: 단자유도 비감쇠 자유진동 방정식은 m\ddot{x}+kx=0 이다. 고유원진동수는 \omega_n=\sqrt{k/m} (rad/s) 이고, 고유주기는

$T=\frac{2\pi}{\omega_n}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$

로 쓴다. 여기서 T는 주기(s), m은 질량(kg), k는 횡강성(N/m)이다. 주기는 질량의 제곱근에 비례하고, 강성의 제곱근에 반비례한다. 질량 m을 4배로 하면 주기는 2배가 된다.

고유주기는 질량의 제곱근에 비례하고 강성의 제곱근에 반비례한다

질량이 중량 W(N)으로 주어지면 m=W/g 를 대입한다. 이때 g=9.81\,\mathrm{m/s^2} 이다. 그러면

$T=2\pi\sqrt{\frac{W}{gk}}$

이다. 두 기호가 함께 나오면 어떤 값이 미지수인지 먼저 정한다.

절차(두 상태의 주기로 미지수 구하기):

• 상태 (a)와 (b)를 구분하고, 각 상태의 질량과 강성을 기호로 쓴다.
• 주기 식 T=2\pi\sqrt{m/k} 를 각 상태에 쓴다.
• 강성이 변하지 않는 경우 두 식의 비를 취해 질량비와 주기비의 관계를 얻는다.
• 질량이 추가된 경우 추가 질량 \Delta m 을 더해 식을 다시 세운다.
• 두 식을 연립해 미지수(질량 또는 강성)를 구하고, 단위와 상식 범위를 확인한다.

기둥 강성을 다룰 때는 횡강성 식을 쓴다. 양단 고정 기둥 여러 개가 수평 하중을 나누어 받는 골조에서는

$k=\sum \frac{12EI}{h^3}$

을 쓴다. 높이 h가 세제곱으로 들어가므로 기둥 높이를 절반으로 줄이면 강성은 8배가 된다. 이 관계는 2절의 문제 조건에서 그대로 쓰인다.

도식 구성 요약은 아래 흐름도와 같다.

5. 관련 법령·기준·표준

고유주기 계산 자체는 공학 역학의 공식이며 특정 법령의 조문을 따르지 않는다. 다만 건축구조기준의 동적 해석과 내진설계에서 고유주기를 어떻게 쓰는지는 기준에 따른다. 건축구조기술사 답안에서는 기준 이름과 역할만 밝히고 조항 번호는 쓰지 않는다.

표 해설: 공식과 중력가속도는 시험 계산의 기본 값이다. 골조 강성식은 높이의 세제곱에 반비례하므로 기둥 높이 변화 문제의 핵심이다. 내진설계 기준은 고유주기를 입력으로 쓰는 절차를 정하며, 그 세부 값은 답안에서 기준 이름으로만 언급한다.

기준 체계 해설: 건축구조의 설계기준은 KDS 코드 체계로 정리되어 있다. 동적 해석의 세부 규정은 해당 KDS 설계기준의 동적해석 항목을 따른다.

g=9.81\,\mathrm{m/s^2}

6. 유형과 비교

고유주기 관계는 질량과 강성의 조합에 따라 여러 형태로 나타난다. 같은 질량 변화라도 구조계가 단자유도계인지 다자유도계인지, 또 고정·연결 방식이 어떤지에 따라 결과가 달라진다. 아래 표는 이 개념에서 자주 혼동되는 경우를 정리한 것이다.