최소일·가상일의 원리

한 줄 정의

최소일의 원리는 부정정력을 탄성 변형에너지가 최소가 되도록 정하는 원리다.

가상일의 원리는 평형 상태의 힘계가 임의의 적합한 가상 변위에 대해 한 일의 합이 0이다.

두 원리는 같은 에너지 관계의 두 측면이다. 최소일은 힘을, 가상일은 변위를 구한다.

에너지와 적합 조건

실제 부정정력은 변형에너지 U를 각 부정정력 X로 편미분한 값이 0을 만족한다.

지점 침하가 없으면 부정정력 작용점의 그 방향 변위는 0이다. 이것이 적합 조건이다.

카스틸리아노의 제2정리에 따라 U를 하중으로 편미분한 값은 그 점의 변위다.

최소일의 원리는 부정정력을 정하는 데, 가상일의 원리는 변위를 구하는 데 주로 쓴다.

계산 절차

이제 실제 계산 순서를 정리한다. 먼저 차수를 구하고 잉여력을 고른다.

외력만 작용한 기본구조의 F0와 X 방향 단위하중의 fX를 구한다.

부재 변형에너지를 X로 미분해 0으로 둔다. 트러스에서는 이 식을 푼다.

구한 X를 대입하면 F = F0 + fX·X가 된다. 마지막으로 단위하중법으로 변위를 구한다.

가상일로 변위 구하기

앞서 물은 답은 최소일의 원리다. 이제 가상일로 변위를 구한다.

가상일의 원리는 외적 가상일과 내적 가상일이 같다는 조건이다.

변위를 구할 방향에 크기 1의 단위 하중을 가상으로 놓고 부재력을 구한다.

트러스는 적분 없이 부재별 합으로 끝난다. 실제 부재력 F에 f를 곱해 더한다.

여기서 δ는 구하는 변위, f는 단위하중 부재력, F는 실제 부재력이다.

예제와 정리

예제는 대칭이므로 여분력 X는 P/(2+√2), 약 0.293P다. 부재 3의 힘은 0.586P다.

이 값을 단위하중법에 넣으면 변위는 (2-√2)PL/EA, 약 0.586PL/EA다.

계산 중 흔한 실수는 지점 침하나 온도 변화를 빼먹는 것이다.

정리하면 최소일로 부정정력을 정하고, 가상일로 변위를 구한다. 두 원리는 같은 에너지 관계다.