최소일·가상일의 원리

왜 배우는가: 부정정 구조물의 부재력과 처짐은 평형식만으로 구할 수 없어 에너지와 변위 관계를 함께 써야 한다. 이 두 원리는 트러스 해석과 변위 계산 문제의 기본이며 기술사 2교시 논술형에서 반복해서 출제된다.

출제 이력: 제116회 1교시 6번, 제111회 2교시 5번, 제65회 2교시 4번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

최소일의 원리는 부정정력을 탄성 변형에너지가 최소가 되도록 정하는 원리다.

가상일의 원리는 평형 상태의 힘계가 임의의 적합한 가상 변위에 대해 한 일의 합이 0이라는 원리다. 외력 가상일과 내력 가상일이 같다는 형태로도 쓴다. 두 원리는 부정정 구조의 힘 결정과 특정 점의 변위 계산을 함께 다룬다.

핵심 키워드

• 부정정력: 평형식만으로 구할 수 없어 적합 조건으로 정하는 잉여 반력이나 잉여 부재력이다.
• 탄성 변형에너지: 부재에 저장되는 변형에너지로, 축력·휨 항으로 나누어 쓴다.
• 카스틸리아노의 제2정리: 변형에너지를 어떤 하중으로 편미분하면 그 하중 작용점의 변위가 된다.
• 가상 변위: 구속 조건을 만족하는 임의의 미소 변위다.
• 외적 가상일: 외력이 가상 변위에 대해 하는 일이다.
• 내적 가상일: 부재 내력이 가상 변형에 대해 하는 일이다.
• 단위하중법: 구하려는 변위 방향에 크기 1의 가상 하중을 두고 변위를 구하는 방법이다.
• 단위 가상하중: 변위 계산에서 가하는 크기 1의 가상 하중이다.

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 구조물은 힘을 받으면 변형하고, 그 변형 속에 에너지가 저장된다. 최소일의 원리는 이 저장 에너지가 가장 작아지는 상태가 실제 구조물의 상태라고 본다. 이 관점은 여분의 힘이 있는 부정정 구조물에서 부정정력을 구하는 데 쓰인다.

정식으로는 다음과 같이 쓴다. 탄성 구조물의 변형에너지를 U라 하고, 부정정력을 X₁, X₂, …, Xₙ이라 하면 실제 부정정력은 다음 식을 만족한다.

$\frac{\partial U}{\partial X_i}=0 \quad (i=1,2,\ldots,n)$

이 식의 의미는 다음과 같다. 부정정력의 작용점에서 지점 침하가 없으면 그 방향 변위는 0이다. 카스틸리아노의 제2정리에 따라 U를 X_i로 편미분한 값이 그 점의 변위이므로, 변위가 부정정력 작용점 처짐 0 이라는 조건이 곧 적합 조건이 된다.

가상일의 원리는 힘의 평형을 기준으로 한다. 평형 상태의 힘계가 임의의 적합한 가상 변위에 대해 한 일은 다음과 같다.

$\delta W_e = \delta W_i$

여기서 δW_e는 외적 가상일, δW_i는 내적 가상일이다. 지지점에 강제 변위가 주어진 곳의 가상 변위는 0이므로 그 지점의 반력은 일을 하지 않고, 외력 가상일만 남는다.

가상일의 방법에서는 구하려는 변위 방향에 단위하중을 가한 가상계를 만든다. 가상 외력 1이 실제 변위 Δ에 대해 하는 일은 1·Δ이고, 이것과 내력 일이 같다. 축력만 받는 트러스에서는 부재별 합으로 다음과 같이 쓴다.

$\Delta=\sum \frac{n_i N_i L_i}{E_i A_i}$

여기서 n_i는 단위하중에 의한 부재력, N_i는 실제 하중에 의한 부재력, L_i는 부재 길이, E_i A_i는 축강성이다. 이 식은 적분이 필요 없고 트러스에서는 유한 합으로 끝난다.

두 원리는 같은 에너지 관계의 다른 표현이다. 최소일의 원리는 부정정력을 정하는 데, 가상일의 원리는 변위를 구하는 데 주로 쓴다.

3. 등장 배경과 필요성

정정 구조물은 평형 방정식만으로 반력과 부재력을 구할 수 있다. 반면 부정정 구조물은 평형 방정식 수가 미지수보다 적으므로 변형의 적합 조건을 추가해야 한다. 이 필요에서 응력법(힘법)과 변위법이 출발했고, 최소일의 원리는 에너지 함수를 이용해 적합 조건을 식으로 한 번에 만드는 방법으로 자리 잡았다.