임계하중(Pcr)

임계하중의 정의

임계하중은 기둥이 재료 강도에 도달하기 전에 좌굴로 무너지는 축하중이다.

재료가 항복하지 않아도 부재가 무너진다는 점이 핵심이다.

식은 π²EI_min을 (KL)²으로 나눈 값이며 E는 탄성계수다.

평형 상태의 전환

축하중을 늘리면 기둥은 안정평형, 중립평형, 불안정 상태를 차례로 거친다.

안정평형에서는 작은 횡력을 제거하면 기둥이 직선으로 돌아온다.

중립평형에 도달하는 축하중이 임계하중이며, 이때 작은 횡력에도 처짐이 생기고 그 처짐은 남는다.

Pcr을 좌우하는 요소

Pcr 식에서 탄성계수 E와 최소 단면2차모멘트 I_min은 비례해서 커진다.

유효길이 KL은 제곱에 반비례하므로 가장 민감한 변수다.

재료 강도와 무관하며, 실무에서는 K 값 선택이 가장 큰 오차 원인이다.

산정 절차

임계하중은 평형식 M = -Py에서 출발해 미분방정식을 세운다.

일반해를 지지조건에 대입하면 특성방정식이 나오고, 그 최소 근이 임계하중이다.

구한 Pcr을 단면적 A로 나누면 임계응력이 된다.

세장비와 좌굴 영역

세장비는 λ = KL/r이며, 회전반경 r이 작을수록 값이 커진다.

세장비가 작은 짧은 기둥은 좌굴보다 재료 항복으로 먼저 파괴된다.

세장비가 매우 큰 장주는 탄성 좌굴 범위에 들어가고, 중간 기둥은 비탄성 좌굴 영역이다.

지지 조건이 강할수록 유효길이가 짧아져 임계하중이 커진다.

시험 포인트와 직접 풀기

시험에서는 지지조건별 유효길이 계산과 골조·트러스의 좌굴 문제가 반복해서 나온다.

가장 많이 감점되는 실수는 지점 조건에 맞지 않는 유효좌굴길이를 쓰는 것이다.

단면은 약축 기준 최소 단면2차모멘트를 쓰고, E는 N/mm² 단위로 환산한다.

골조와 트러스는 좌굴모드를 먼저 그린 뒤 부재별로 K를 정한다.

정리와 정답

유효길이가 2배가 되면 (KL)²은 4배가 되므로 임계하중은 1/4배가 된다.

정리하면 임계하중은 강성 EI와 유효길이 KL로 정해지는 중립 평형의 축하중이다.