원호보 처짐

원호보 처짐이란

원호보 처짐은 곡선 부재의 자유단 변위를 구하는 문제다.

직선보 공식으로는 수평변위를 설명할 수 없어서 에너지법을 쓴다.

자유단은 힘의 방향과 다른 방향으로도 움직인다. 변위는 변형에너지를 하중으로 편미분해 구한다.

변형에너지와 카스틸리아노 정리

원호보 처짐은 변형에너지 U를 세우고 이를 하중으로 편미분해 구한다.

U는 굽힘 모멘트 M을 호 길이 ds로 적분한 값이다. ds는 R dθ다.

E는 탄성계수, I는 단면 2차 모멘트, R은 곡률 반지름이다.

계산은 굽힘만 고려하고, 작은 변형과 전 구간 일정한 EI를 가정한다.

사분원호 캔틸레버 계산

사분원호 캔틸레버에 자유단 하중 P가 걸린다. 임의 단면의 모멘트는 PR sinθ다.

연직 처짐은 M을 θ에 대해 0부터 π/2까지 적분해 πPR³/(4EI)를 얻는다.

수평 처짐은 가상 수평하중 Q를 넣고 Q로 편미분한 뒤 Q=0을 대입한다. 결과는 PR³/(2EI)다.

그래서 δv/δh는 π/2, 약 1.57이다. 연직 처짐이 수평 처짐보다 크다.

직선보와 원호보 비교

직선 캔틸레버는 힘 방향으로만 처진다. 원호보는 다른 방향의 변위도 함께 생긴다.

원호보 내부 모멘트는 θ에 따라 바뀌므로 적분을 각도 θ에 대해 수행한다.

연직하중만 작용해도 원호보에는 수평변위가 생긴다. 직선보에는 없는 차이다.

이 차이가 처짐비를 구하는 문제의 핵심이다.

굽힘 항과 축력·전단 항

원호보 변형에너지는 굽힘, 축력, 전단 세 항의 합으로 쓴다.

굽힘만 고려하는 문제는 축력과 전단 항을 버린다.

축력과 전단을 고려하라는 조건이 있으면 두 항을 반드시 더한다.

얇은 보에서는 굽힘 항이 지배적인 경우가 많다.

직접 풀기

사분원호 캔틸레버의 두 처짐을 다시 떠올려 보자.

연직 처짐과 수평 처짐의 비를 직접 구해 보자.

정리와 정답

정답은 π/2다. 연직 처짐이 수평 처짐보다 약 1.57배 크다.

원호보 처짐은 변형에너지를 세우고 카스틸리아노 정리로 미분해 구한다.

어느 항을 쓰는지는 문제 조건으로 정해진다. 조건을 먼저 확인한다.