신뢰성 지수 β의 정의와 계산

신뢰성 지수란

신뢰성 지수는 구조물의 안전성을 확률로 표현하는 대표 지표다.

저항과 하중효과의 평균 차이를 표준편차로 나눈 값이다.

값이 클수록 파괴되기 어렵고, 파괴확률 Pf와 1대1로 대응한다.

한계상태 함수와 파괴

한계상태 함수 G는 저항 R에서 하중효과 S를 뺀 값이다.

G가 0 이하가 되는 사건이 파괴다. 음수 영역이 파괴영역이다.

R과 S는 각각 확률변수로 취급된다.

β 식과 파괴확률

두 변수가 독립이고 정규분포라면 β는 평균 차를 합성 표준편차로 나눈 값이다.

파괴확률은 Pf = Φ(−β)로 얻는다. Φ는 표준정규분포의 누적분포함수다.

β가 커지면 Pf는 지수적으로 작아진다. 두 값은 표준정규 환산으로 이어진다.

계산 예제

항복강도 R은 평균 400 MPa, 변동계수 3%다. 표준편차는 12 MPa다.

부재응력 S는 평균 360 MPa, 변동계수 2.5%다. 표준편차는 9 MPa다.

평균 여유 μg는 40 MPa이고, 합성 표준편차 σg는 15 MPa다.

따라서 β는 40 나누기 15, 약 2.67이다. 단위는 모두 MPa로 통일했다.

헷갈리는 점과 풀이 확인

시험에서 자주 틀리는 부분을 짚는다.

변동계수 3%는 0.03으로 대입한다. 단위를 빠뜨리지 않는다.

대수정규분포 변수는 정규분포처럼 계산하면 안 된다. 로그 변환이 필요하다.

파괴확률 1/1000일 때 β가 얼마인지 직접 풀어 보자.

정리

정답은 β 약 3.09다. Pf를 Φ(−β)로 두고 역으로 찾은 값이다.

신뢰성 지수는 평균 여유를 표준편차로 나눈 값이다.

파괴확률과는 Pf = Φ(−β)로 1대1 대응한다.

목표 β를 정하면 부분안전계수와 저항계수를 그에 맞춰 정할 수 있다.