레일리 감쇠행렬 구성

레일리 감쇠란

레일리 감쇠는 감쇠행렬을 질량과 강성의 선형 결합으로 놓는 방법이다.

두 계수 a0, a1을 정하면 감쇠행렬 전체가 결정된다.

a0은 질량 비례 계수, a1은 강성 비례 계수다.

모드 감쇠비와 두 계수

질량 항 a0/ωn은 낮은 진동수 모드의 감쇠를, 강성 항 a1 × ωn은 높은 진동수 모드의 감쇠를 키운다.

모드 감쇠비 ζn은 두 항의 합을 2로 나눈 값이다.

ωn은 n차 고유원진동수이며 단위는 rad/s다.

구성 절차

구성 절차는 다섯 단계로 이루어진다.

먼저 고유치 해석으로 두 모드의 고유원진동수를 구하고, 목표 감쇠비를 정한다.

두 식을 연립해 a0, a1을 구한 뒤 C = a0M + a1K로 조립한다.

마지막으로 다른 모드의 감쇠비 ζn을 확인해 한계를 점검한다.

계산 예제

ω1은 10, ω2는 40 rad/s이고 두 모드의 목표 감쇠비는 모두 0.05다.

a0는 800에 1.5를 곱해 1200을 얻고, 이를 1500으로 나눠 0.8 1/s가 된다.

a1은 2에 1.5를 곱해 3을 얻고, 이를 1500으로 나눠 0.002 s가 된다.

그러면 C = 0.8M + 0.002K이고 검산 결과 두 감쇠비가 0.05로 재현된다.

비교와 헷갈리는 점

Rayleigh 감쇠는 두 계수로 모드 감쇠비를 간접 지정하는 모델이다.

모달 감쇠는 모드별 감쇠비를 직접 지정하고, 직접 점성감쇠행렬은 댐퍼 배치를 반영한다.

중간 모드의 감쇠는 실제와 다를 수 있으므로 주의한다.

수치적 감쇠를 댐퍼 같은 물리 감쇠와 같다고 쓰면 감점된다.

직접 풀기

두 목표 모드의 감쇠비를 같게 두면 계수는 간단한 닫힌 식으로 나온다.

이제 계수값을 이용해 ω = 10 rad/s인 모드의 감쇠비를 구해 보자.

정답과 정리

정답은 0.05다. 이 감쇠비는 예제의 목표 감쇠비와 같다.

레일리 감쇠행렬은 두 계수로 완성되며, 물리 감쇠장치와 구분해 쓴다.