단면1차모멘트와 단면2차모멘트

정의

단면1차모멘트와 단면2차모멘트는 단면의 모양에서 결정되는 기하학적 양이다.

단면1차모멘트는 면적에 거리 1제곱을, 단면2차모멘트는 거리 2제곱을 곱해 적분한 값이다.

두 값 모두 재료의 종류와는 무관하다.

도심과 단면1차모멘트

먼저 x축에 대한 단면1차모멘트를 본다. 거리 y를 곱해 면적에 대해 적분한 값이다.

도심은 이 값이 0이 되는 점이다. 복합 단면은 면적과 도심 위치의 가중평균으로 구한다.

따라서 도심을 지나는 축에 대한 단면1차모멘트는 항상 0이다.

평행축정리

단면2차모멘트는 단면의 모양만으로 정해지며, 도심축 값에서 평행축정리로 다른 축 값을 구한다.

평행축정리는 I = Ic + A·d²이다. 여기서 d는 도심축과 기준축 사이 거리다.

이 식은 기준축이 도심축과 평행할 때만 성립한다.

단면2차모멘트는 도심에서 가장 작은 값을 가진다.

직사각형 예제

직사각형 폭 b, 높이 h의 도심축 단면2차모멘트는 bh³/12다.

같은 직사각형을 밑변 기준으로 보면 bh³/3이 된다.

두 값의 차이 bh³/4는 A(h/2)²과 같아 평행축정리와 일치한다.

정답은 bh³/12다. 밑변 기준 값과 혼동하지 않는다.

T형 단면 예제

치수는 가상의 예다. 플랜지는 300×20 mm, 복부는 20×380 mm다.

아래 모서리 기준으로 면적과 y를 곱해 합산한 뒤 전체 면적으로 나눈다.

그 결과 도심은 아래에서 약 278.2 mm 위치다.

각 부분의 도심축 값에 평행축정리를 적용해 더하면 Ix는 약 2.26×10⁸ mm⁴다.

폭 300, 높이 400 직사각형의 1.6×10⁹ mm⁴보다 작아 상식 범위다.

시험 포인트

첫째, 기준축과 도심축을 혼동하지 않는다. 도심축에 대한 단면1차모멘트는 0이다.

둘째, 평행축정리를 명시하고 d를 두 축 사이 거리로 정의한다.

셋째, 계산 단위와 답의 단위를 맞춘다.

정답은 0이다. 도심축 단면1차모멘트는 항상 0이다.

정리

정리한다. 도심축 단면1차모멘트는 0이고, 도심축 단면2차모멘트는 가장 작은 값을 가진다.

다른 축 값은 평행축정리 I = Ic + A·d²로 구하고, 직사각형은 bh³/12를 기억한다.