구조물 변형에너지
구조물 변형에너지는 외력이 구조물에 한 일이 탄성 변형에너지로 저장된 양이다. 선형 탄성 구조물에서는 외력이 한 일 W와 내부 변형에너지 U가 같다. 에너지 보존 원리에서 나온다. 힘의 종류마다 변형에너지 적분식이 다르다. 네 항 모두 내력 제곱을 강성의 2배로 나눈…
주요 장면
대본
정의
구조물 변형에너지는 외력이 구조물에 한 일이 탄성 변형에너지로 저장된 양이다.
선형 탄성 구조물에서는 외력이 한 일 W와 내부 변형에너지 U가 같다. 에너지 보존 원리에서 나온다.
성분별 변형에너지
힘의 종류마다 변형에너지 적분식이 다르다. 네 항 모두 내력 제곱을 강성의 2배로 나눈 꼴이다.
축력 항은 N²/(2EA), 휨 항은 M²/(2EI)를 길이에 걸쳐 적분한다.
전단 항에만 형상계수 k가 곱해진다. 전단 변형에너지에서 k를 빠뜨리면 안 된다.
비틀림 항은 T²/(2GJ)이다. 네 항은 각각 독립이므로 따로 적분한다.
전체 변형에너지 U는 축력, 휨, 전단, 비틀림 네 항의 합이다.
예제 계산
길이 3 m, 자유단 하중 10 kN인 외팔보에서 휨 변형에너지를 구한다.
먼저 EI를 구한다. 고정단에서 거리 x 위치의 휨모멘트는 M(x) = Px다.
이를 휨 항 적분식에 넣어 적분하면 U = P²L³/(6EI)가 된다.
수치를 대입하면 약 28.1 N·m다. 자유단 처짐으로 검산해도 값이 일치한다.
세 가지 방법 비교
변형에너지를 이용하는 방법은 세 가지다. 세 방법 모두 선형 탄성 가정을 공유한다.
카스틸리아노 정리는 에너지를 하중으로 미분해 하중 작용점의 변위를 바로 얻는다.
단위하중법은 임의 위치의 변위를 구할 때 쓴다. 이때 m은 단위하중에 의한 내력이다.
헷갈리는 점과 한계
가장 흔한 실수는 네 성분을 모두 같은 식으로 쓰는 것이다. 각 성분은 다른 식을 쓴다.
전단 변형에너지에서 형상계수를 빠뜨리는 것도 흔한 실수다. 변단면은 상수 단면 식을 그대로 쓰면 안 된다.
선형 탄성 가정이 깨지면 이 적분식은 성립하지 않는다.
온도 변화와 부재 맞춤 오차는 식에 직접 들어가지 않으므로 따로 처리한다.
정리와 확인
변형에너지 산정은 축력, 휨, 전단, 비틀림 네 항을 각각 적분해 합산하는 것이다.
단면이나 재료가 구간별로 바뀌면 각 구간의 강성을 함수로 둔다.
선형 탄성, 미소 변형, 중첩이 성립할 때만 이 식을 쓴다.