층류 마찰계수 유도

정의

층류 마찰계수는 층류에서 레이놀즈수 Re의 함수로 주어지는 Darcy 마찰계수다.

식은 f = 64/Re 이며, 관벽의 거칠기와는 무관하다.

이 식이 어디서 나오는지 유도해 보자.

흐름 상태 구분

흐름 상태는 레이놀즈수로 먼저 구분한다.

파이프 내부 완전발달 유동에서 Re 2300 미만이면 층류다.

문헌에 따라 기준값이 다를 수 있으므로 답안에는 기준을 함께 쓴다.

유도

먼저 하겐-푸아죄유 식에서 압력강하를 평균유속으로 나타낸다.

단면을 적분한 유량 Q에 V = Q/(πD²/4)를 대입하면 Δp = 32μLV/D²가 된다.

다음은 Darcy-Weisbach 식 h_f = f(L/D)V²/2g 이다. 두 식을 같은 압력강하에 놓는다.

정리하면 f = 64μ/(ρVD) 이고, Re = ρVD/μ 로 치환하면 f = 64/Re 가 나온다.

결국 층류 마찰계수는 레이놀즈수만의 함수다.

계산 예제

가상의 예로, 내경 0.025 m, 유속 0.05 m/s 인 물을 생각한다.

먼저 레이놀즈수를 구한다. Re는 1,250이며 2300 미만이므로 층류다.

층류이므로 f = 64/Re 를 쓰면 f는 0.0512가 된다.

관 길이 10 m를 대입하면 손실수두는 약 2.6 mm 가 된다.

유속이 작은 층류 구간이라 손실이 작다는 점과 맞는다.

헷갈리는 점

헷갈리기 쉬운 점은 층류 손실이 유속의 제곱이 아니라 1승에 비례한다는 것이다.

난류 손실은 대략 유속의 제곱에 비례하므로 두 관계를 구분해야 한다.

Darcy 계수와 Fanning 계수는 정의가 다르므로 혼동하지 않는다.

직접 풀어 보자. 유속을 2배로 올리면 층류 손실수두는 몇 배가 되는가?

정리

정리하면 층류 마찰계수는 f = 64/Re 이며, Re만의 함수다.

시험에서는 유도 과정을 두 단계로 보이고 적용 범위를 함께 쓴다.

적용 범위는 원형관 완전발달 층류, Re 2300 미만이다. 기준값은 문헌마다 다를 수 있다.