층류 마찰계수

왜 배우는가: 층류 마찰계수는 관로 손실수두를 계산하는 기본 관계식이며, 난류 식과 구분해 흐름 상태를 먼저 판별해야 하는 이유를 보여 준다. 시험에서는 Hagen–Poiseuille 식과 Darcy–Weisbach 식을 연결하는 유도 문제로 반복 출제된다.

출제 이력: 제138회 3교시 3번, 제121회 1교시 12번, 제103회 4교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

답안 첫 줄에 쓸 정의: 층류 마찰계수 f는 층류 영역에서 레이놀즈수 Re의 함수로 f = 64/Re 로 주어지는 Darcy 마찰계수다.

핵심 키워드

• 층류(Laminar flow): 유체가 층을 이루어 섞이지 않고 흐르는 상태다. 점성력이 관성력을 누른다.
• 레이놀즈수(Reynolds number, Re): 관성력과 점성력의 비를 나타내는 무차원수다. Re = ρVD/μ 로 쓴다.
• Darcy 마찰계수(Darcy friction factor, f): Darcy–Weisbach 식에 쓰는 무차원 마찰계수다.
• Darcy–Weisbach 식: 마찰손실수두를 관 길이, 관 내경, 속도수두로 나타낸 식이다.
• Hagen–Poiseuille 법칙: 층류가 긴 원관을 흐를 때 압력강하와 유량의 관계를 준다.
• 점성계수(μ): 유체의 점성 크기를 나타내는 물성값이다. 단위는 Pa·s다.
• 수력직경(Hydraulic diameter): 비원형 관로에서 쓰는 특성 길이다. 원형 관에서는 내경과 같다.

2. 개념 풀이

쉽게 말하면 관 속 물이 얇은 층으로 미끄러지듯 천천히 흐를 때, 벽면 마찰이 얼마나 생기는지를 한 숫자로 나타낸 것이다. 층류에서는 입자가 섞이지 않으므로 손실이 속도에 비례한다. 이 관계를 가장 간단한 형태로 적은 값이 층류 마찰계수다.

정식으로는 원형관 내 완전발달 층류에서 Darcy 마찰계수를 레이놀즈수만의 함수로 쓴 것이다. 평균속도 V 로 흐르는 원관의 Hagen–Poiseuille 압력강하는 Δp = 32μLV/D² 이다. 같은 압력강하를 Darcy–Weisbach 식 Δp = f(L/D)(ρV²/2) 로 쓰면 f = 64μ/(ρVD) 가 되고, Re = ρVD/μ 로 치환하면 f = 64/Re 가 나온다. 유도 과정의 자세한 전개는 4절에서 다룬다.

핵심 용어 풀이

• Hagen–Poiseuille 법칙: 비압축성 뉴턴 유체의 층류가 긴 원관을 흐를 때 압력강하를 준다. 유량은 압력차와 반지름의 네제곱에 비례한다. 압력강하는 평균속도에 비례한다.
• Darcy–Weisbach 식: 마찰손실수두 h_f = f(L/D)V²/(2g) 로 쓴다. 이 식의 f 가 Darcy 마찰계수다.
• Darcy 마찰계수: Fanning 마찰계수와 구별해 사용한다. 두 계수의 정의를 혼동하지 않는다.

층류의 가장 중요한 특징은 손실이 속도 제곱이 아니라 속도에 비례한다는 점이다. 층류 마찰손실은 속도의 1승에 비례하고, 난류 마찰손실은 속도의 제곱에 대략 비례한다. 따라서 층류에서 Darcy–Weisbach 식을 그대로 적용하면 유속 변화에 따른 손실 변화를 정확히 나타내지 못한다. 다만 f 를 Re 로 정의해 사용하면 식의 형태는 유지된다.

층류 속도분포는 관 중심에서 최대이고 벽면에서 0이 되는 포물선이다. 벽면에서 속도가 0이라는 점이 유도의 경계조건이 된다.

3. 등장 배경과 필요성

소방배관은 지름이 작고 유속이 빠른 난류가 대부분이다. 그러나 소구경 분기 배관, 호스 내부의 저유량 구간, 미분무 배관처럼 점성의 영향이 큰 흐름에서는 층류에 가까운 상태가 생긴다. 이때 난류용 상관식을 그대로 쓰면 손실을 과대 또는 과소 평가할 수 있다. 따라서 레이놀즈수로 흐름 상태를 먼저 판별하고, 층류이면 f = 64/Re 를 쓰는 절차가 필요하다.