수리학상 유리한 단면

수리학상 유리한 단면이란

수리학상 유리한 단면은 단면적이 같을 때 윤변이 가장 작은 단면이다.

윤변은 물이 수로 벽과 접하는 경계의 길이다. 경심은 단면적을 윤변으로 나눈 값이다.

경심이 클수록 같은 경사에서 흐르는 유량이 커진다.

핵심 관계식

경심은 단면적을 윤변으로 나눈 값이며 R = A/P로 구한다.

Manning 식에서 경사와 조도가 같으면 R이 클수록 유량 Q가 커진다.

따라서 단면적 A가 일정할 때 윤변 P를 최소로 하는 것이 목표다.

이것이 수리학상 유리한 단면을 찾는 핵심 원리다.

직사각형 유리 조건

직사각형 수로의 폭을 B, 수심을 h라 하자.

단면적은 A = Bh이고, 윤변은 P = B + 2h이다.

A가 일정할 때 P를 최소로 하면 dP/dh = 0에서 B = 2h가 된다.

이때 경심은 R = h/2이다. 폭이 수심의 두 배인 직사각형이 유리하다.

단면 형상 비교

세 단면을 비교하면 조건과 적용 대상이 뚜렷이 다르다.

직사각형은 B = 2h에서 경심 R = h/2가 되고 콘크리트 수로에 적합하다.

원형은 만수 시 R = D/4이며, 수심이 관경의 일정 비율일 때 유량이 최대가 된다.

그러나 이론상 윤변이 가장 작은 반원형은 시공이 어려워 사다리꼴이 많이 쓰인다.

흔한 실수

시험에서 자주 틀리는 부분을 짚어 보자.

첫째, 최소 윤변 조건은 단면적이 일정할 때의 조건이다.

둘째, 원형 관의 최대 유량은 만관이 아니라 일정 수심 비율에서 나타난다.

셋째, 사다리꼴은 측벽 경사를 명시하지 않으면 유리한 단면을 구할 수 없다.

정리

정리하자. 수리학상 유리한 단면은 단면적이 같을 때 윤변이 최소인 단면이다.

직사각형은 B = 2h일 때 유리하고, 원형은 일정 수심 비율에서 유량이 최대가 된다.

실제 설계에서는 유속과 굴착 여건을 함께 확인한다.

앞 문제의 정답은 폭 2배와 관경의 일정 비율이다.