수리학상 유리한 단면

왜 배우는가: 수리학상 유리한 단면은 주어진 유량과 경사에서 단면적을 최소로 하는 단면을 찾는 문제로, 하수관거·개수로 설계에서 굴착량과 공사비를 줄이는 기준이 된다. 기술사 시험에서는 직사각형·사다리꼴·원형 단면의 조건식을 유도하고 비교하는 형태로 반복 출제된다.

출제 이력: 제116회 2교시 2번, 제94회 1교시 5번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

수리학상 유리한 단면(Hydraulically Most Efficient Section)은 단면적 A가 같을 때 윤변 P가 최소인 단면이며, 이때 경심 R = A/P가 최대가 되어 같은 경사에서 유량이 최대로 흐르는 단면이다.

단면적이 같을 때 윤변이 최소, 경심이 최대인 단면이 수리학상 유리한 단면이다.

핵심 키워드

• 수리학상 유리한 단면
• 윤변(Wetted Perimeter)
• 경심(Hydraulic Radius)
• 최대 경심 조건
• 직사각형 수로 B = 2h
• 반원형 단면
• Manning 식
• 최소 굴착 단면

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면, 같은 양의 물을 흘리는 데 물과 벽이 닿는 길이가 가장 짧은 단면이 가장 효율적이라는 뜻이다. 벽이 짧을수록 마찰 손실이 줄고 같은 면적에서 흐름이 원활해진다.

정식으로는 Manning 식 Q = (1/n) A R^(2/3) I^(1/2)에서 A와 I, n이 주어졌을 때 유량 Q를 최대로 하는 단면 형상을 찾는 것이다. 경사와 조도가 같다면 R이 클수록 Q가 커지므로, 단면적 A가 일정할 때 윤변 P를 최소로 하면 된다.

핵심 용어

• 윤변(P): 물이 수로 벽과 접하는 경계의 길이(수면 제외)다. 단위는 m이다.
• 경심(R): 단면적을 윤변으로 나눈 값, R = A/P이다. 단위는 m이다.
• 최적 단면(Best Hydraulic Section): 경심이 최대인 단면을 말한다.

직사각형 수로에서 폭 B, 수심 h이면 A = Bh, P = B + 2h이다. A가 일정하다는 조건에서 P를 최소로 하면 dP/dh = 0에서 B = 2h가 된다. 즉 폭이 수심의 두 배일 때 직사각형은 수리학상 유리하다. 이때 R = h/2이다.

사다리꼴 수로는 측벽 경사각 θ에 대해 수리학상 가장 유리한 조건이 정해지며, 그 조건에서 경심은 수심과 기하 관계로 나타난다.

원형 관로는 충만 수심이 관경의 일정 비율일 때 경심이 최대에 가까운 조건을 가진다. 완전 충만 상태보다 반충만 부근에서 유량이 최대가 되는 것은 개수로 흐름에서 따로 확인해야 하는 사항이다.

3. 등장 배경과 필요성

하수도와 관개수로는 긴 구간을 같은 경사로 건설하므로 단면 형상이 공사비와 유지관리비를 크게 좌우한다. 같은 유량을 흘릴 때 단면적이 작아지면 굴착 토량, 라이닝 면적, 흙막이 규모가 함께 줄어든다.

또한 수로 벽면이 짧으면 마찰 면적이 줄어 흐름 저항이 작아지고, 유속을 일정하게 유지하여 세굴과 퇴적 문제를 줄일 수 있다. 이 때문에 설계 초기 단계에서 수리학상 유리한 단면을 기준으로 삼고, 현장 조건에 맞게 보정하는 절차가 일반적이다.

다만 실제 설계에서는 수리학상 유리한 단면이 항상 경제적인 단면은 아니다. 깊고 좁은 단면은 터파기 깊이가 커져 시공비가 늘어나므로, 경제적 단면(최소 굴착)과 수리적 단면을 함께 검토한다.

4. 구성요소·원리·절차

수리학상 유리한 단면은 경심(Hydraulic radius, R)이 최대가 되는 단면이다. 경심은 통수단면적을 윤변으로 나눈 값이다. 같은 단면적이면 윤변(Wetted perimeter)이 작을수록 마찰 접촉이 줄어 유량이 커진다.

$R = \frac{A}{P}$

여기서 A는 통수단면적(m²), P는 윤변(m), R은 경심(m)이다. 유량은 Manning 식 Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} I^{1/2} 로 구하므로 경심이 커질수록 같은 경사에서 유량이 증가한다. 여기서 n은 조도계수, I는 수로 경사다.

표만으로는 원리가 드러나지 않으므로 아래 흐름으로 정리한다. 같은 유량 조건에서 윤변을 줄이는 방향으로 단면 형상을 정하는 것이 설계의 원리다. 경심이 최대인 조건은 직사각형에서 B = 2h, 사다리꼴에서 반단면의 조건, 원형에서 수심이 관경의 일정 비율일 때 나타난다. 이 값들은 단면 형상별 기하 조건으로 유도한다.

직사각형 단면에서 A = Bh, P = B + 2h 이므로

$R = \frac{Bh}{B+2h}$

R을 h에 대해 미분하여 0으로 놓으면 B = 2h 가 된다. 즉 B = 2h 가 직사각형 최적 조건이다. 이때 R = h/2 이다.

절차는 다음과 같다.

• 설계 유량 Q, 경사 I, 조도계수 n을 정한다.
• 단면 형상(직사각형, 사다리꼴, 원형)을 정하고 A와 P를 수심 또는 폭의 함수로 쓴다.
• R = A/P 를 최대화하는 조건을 미분으로 구한다.
• 얻은 기하 조건을 Manning 식에 대입하여 필요 단면의 유량을 검증한다.
• 최적 단면이 현장 여건(굴착 깊이, 유지관리)과 맞는지 확인한다.

위 흐름도에서 보듯 최적 단면은 한 번에 정해지지 않고, 현장 여건과 맞춰 되풀이하여 확정한다.

5. 관련 법령·기준·표준

하수도 계획·설계의 수리 기준은 「하수도법」 및 하수도 시설기준(고시)에 따른다. 수리 계산식은 Manning 식이 널리 쓰인다. 조도계수 n은 관거 재질과 상태에 따라 달라지며, 설계에서 선택한 값을 그대로 적용한다. 아래 표는 단면 형상별 수리학적 유리 조건이다.

사다리꼴 반단면 조건은 R = h/2 이 되는 기하 조건이다. 원형 단면의 최대 유량 조건(수심 비율)은 Manning 식과 원형 단면 기하식으로 구한 값이다. 실무 설계는 이 최적 조건에 여유를 두어 적용한다.

관련 기준의 개정 연혁은 현행 하수도 시설기준의 최신 고시를 기준으로 한다. 과거 설계 자료에서 쓰던 조도계수 값은 현행 기준과 다를 수 있다.

6. 유형과 비교

수리학상 유리한 단면은 같은 단면적에서 윤변(윤변(wetted perimeter))이 가장 작아 동수반경(동수반경(hydraulic radius))이 가장 큰 형상을 말한다. 동수반경이 클수록 같은 경사에서 유속과 유량이 커지므로 단면 형상을 비교할 때 기준이 된다.