RL회로 과도응답

정의

RL회로 과도응답은 저항과 인덕턴스가 직렬로 연결된 회로에서 전류가 정상값에 이르기까지의 변화다.

스위치를 닫아도 전류는 순간에 최종값에 도달하지 못하고 천천히 늘어난다.

이 천천히 변하는 구간이 과도응답이다.

구조와 원리

직류 전원 E를 가하면 키르히호프 전압법칙으로 E = Ri + L di/dt가 된다.

여기서 시정수는 τ = L/R [s]다. 전류가 정상값의 약 63.2%에 이르는 시간이다.

그 역수 R/L은 감쇠율이라 한다. 인덕터가 전류 변화를 막아 전류는 서서히 증가한다.

직류 인가 해

직류 인가 시 해는 정상해와 과도해의 합으로 구한다.

정상해는 인덕터를 단락으로 보고 얻은 E/R이다. 과도해는 특성근 p = -R/L에서 나온다.

초기조건 i(0)=0을 대입하면 A = -E/R이 된다.

그러므로 i(t) = E/R (1 - e^(-t/τ))가 된다.

직접 풀어 보자.

예제 계산

앞서 낸 문제의 답은 i(0)=0이다. 이 조건으로 A = -E/R이 정해진다.

예제로 확인한다. E는 100 V, R은 10 Ω, L은 0.5 H인 직렬 RL회로다.

시정수는 L/R = 0.05 s다.

t = 0.05 s에서 전류는 10(1 - e^(-1)) ≈ 6.32 A가 된다.

t = τ이므로 정상값 10 A의 약 63%에 해당한다.

교류 인가

교류를 인가하면 정상해는 정현파 전류가 된다.

정상해 크기는 임피던스 Z로, 위상은 φ = tan^-1(ωL/R)로 정해진다.

과도해는 같은 지수 항이지만 크기가 투입 위상 θ에 따라 달라진다.

직류·교류 비교

직류와 정현파 인가를 표로 비교한다.

두 경우 과도해는 모두 같은 지수 항을 가져 시정수가 같다.

차이는 과도해 크기를 정하는 방식이다. 직류는 i(0)=0, 교류는 투입 위상 θ로 정해진다.

교류에서는 투입 위상에 따라 과도 전류가 정상 최대치의 약 2배에 가까워질 수 있다.

정리

정리하자. RL회로 과도응답은 시정수 τ = L/R 하나로 설명된다.

직류는 i(0)=0 조건으로 A를 정하고, 교류는 투입 위상 θ에 따라 과도해가 달라진다.

시험에서는 시정수를 R/L로 바꿔 쓰는 실수를 조심한다.