연속의 정리·베르누이 정리

정의

연속의 정리와 베르누이 정리는 유체 흐름의 질량과 에너지 보존을 다루는 기본 법칙이다.

연속의 정리는 정상류에서 단위시간에 단면을 통과하는 유량이 일정하다는 뜻이다.

베르누이 정리는 비압축성·비점성 정상류에서 유선을 따라 전수두가 일정함을 뜻한다.

두 정리는 함께 쓰여 유속과 압력을 구하는 출발점이 된다.

연속의 정리

연속의 정리는 질량 보존 법칙을 유체 흐름에 적용한 것이다.

정상류에서 검사면 1과 2를 지나는 유량이 같으므로 A1v1 = A2v2가 성립한다.

유체가 비압축성이면 밀도가 일정해 체적 유량 보존으로 줄어든다.

단면적이 작아지면 유속은 커진다.

베르누이 정리

베르누이 정리는 에너지 보존 법칙을 유선을 따라 적용한 것이다.

식의 세 항은 압력수두, 속도수두, 위치수두라 부르며 그 합을 전수두라 한다.

정상류, 비압축성, 비점성 유체, 같은 유선이라는 조건이 붙는다.

유속이 빨라지는 곳에서 압력이 낮아진다는 것이 이 식의 핵심이다.

두 정리의 비교

두 정리는 함께 쓰이지만 답하는 질문이 다르다.

연속의 정리는 질량보존으로 유량과 유속의 관계를 정한다.

베르누이의 정리는 에너지보존으로 압력·속도·위치의 관계를 정한다.

단면이 바뀌는 곳에서는 유속을 먼저 구하고, 그 유속으로 압력차를 구한다.

계산 예제

입구 지름 0.2m, 출구 지름 0.1m, 입구 유속 2m/s인 수평관을 보자.

연속의 정리에 A = πD²/4를 대입하면 D1²v1 = D2²v2가 된다.

값을 넣으면 0.08 = 0.01v2 이므로 출구 유속은 8m/s이다.

같은 관에서 밀도 1000kg/m³, 수평관이므로 z가 같다고 보고 베르누이 식을 쓴다.

그 결과 압력차는 30kPa이다. 유속이 빨라진 쪽의 압력이 낮다.

헷갈리는 점

시험에서 자주 감점되는 것은 가정 누락이다.

두 식을 혼동해 한쪽 식으로 다른 쪽 결과를 설명하지 않도록 한다.

실제 관로에는 마찰 손실이 있으므로 손실수두 H_L을 더한 확장 식을 쓴다.

앞 문제의 정답은 1/4배다. 지름이 절반이면 단면적은 1/4이 된다.

정리

정리하면 연속의 정리는 질량보존으로 유량과 유속을 연결한다.

베르누이 정리는 에너지보존으로 전수두가 일정함을 말한다.

두 식을 연결해 쓰는 것이 이 개념의 기본 풀이다.