연속의 정리·베르누이 정리

왜 배우는가: 연속의 정리와 베르누이 정리는 유체 흐름의 질량·에너지 보존을 다루는 기본 법칙으로, 배관 설계·유량계·펌프 해석 등 실무 계산의 출발점이다. 기술사 시험에서도 두 정리를 함께 묻는 문항이 반복해 출제되어 개념의 차이와 연결을 정확히 정리해 두어야 한다.

출제 이력: 제117회 1교시 4번, 제110회 1교시 10번

1. 한 줄 정의와 핵심 키워드

연속의 정리는 정상류에서 단위시간에 단면을 통과하는 유량이 어느 단면에서나 일정함을 뜻하고, 베르누이 정리는 비압축성·비점성 정상류에서 유선을 따라 전수두(압력수두+속도수두+위치수두)가 일정함을 뜻한다.

핵심 키워드: 연속의 정리, 베르누이 정리, 정상류, 비압축성 유체, 비점성 유체, 유선, 전수두, 질량 보존

2. 개념 풀이

쉬운 말로 하면 물이 관을 따라 흐를 때 "들어간 양과 나간 양이 같다"는 것이 연속의 정리이고, "물이 가진 에너지 형태(압력·속도·높이)가 서로 바뀌지만 합은 변하지 않는다"는 것이 베르누이 정리다.

연속의 정리는 질량 보존 법칙을 유체 흐름에 적용한 것이다. 정상류에서 검사면 1과 2를 지나는 유량이 같으므로 $A_1 V_1 = A_2 V_2$ 가 성립한다. 여기서 A는 단면적(㎡), V는 평균 유속(m/s)이다. 유체가 비압축성이면 밀도 \rho가 일정하여 체적 유량 보존으로 줄어든다.

베르누이 정리는 에너지 보존 법칙을 유선을 따라 적용한 것이다. 정식으로는 다음과 같다.

$\frac{p}{\gamma} + \frac{V^2}{2g} + z = \text{일정}$

여기서 p는 압력(Pa), \gamma는 비중량(N/㎥), V는 유속(m/s), g는 중력가속도(m/s²), z는 기준면으로부터의 높이(m)다. 각 항은 압력수두, 속도수두, 위치수두라 부르며 그 합을 전수두라 한다.

핵심 용어 풀이는 다음과 같다. 정상류는 임의의 점에서 속도·압력이 시간에 따라 변하지 않는 흐름이다. 유선은 어느 순간 각 점의 속도 벡터에 접하는 가상의 선이다. 비점성 유체는 내부 마찰이 없다고 가정한 유체로, 마찰에 의한 손실이 없는 이상 유체다.

두 정리는 함께 쓰인다. 연속의 정리로 단면이 바뀔 때 유속을 구하고, 그 유속을 베르누이 식에 대입해 압력 변화를 구한다. 벤투리관과 오리피스 유량계가 대표적인 예다.

3. 등장 배경과 필요성

유체 흐름을 수학으로 기술하려는 시도는 18세기에 시작되었다. 수학자 다니엘 베르누이가 에너지 보존 관계로부터 유선을 따른 압력과 속도의 관계를 정리했고, 이후 오일러가 비점성 운동 방정식을 체계화하면서 베르누이 정리는 유체역학의 기초가 되었다. 연속의 정리는 질량 보존의 직접적 표현으로, 관 직경이 바뀌는 배관에서 유속을 예측하는 데 필요하다.

실무에서 이 두 정리가 필요한 이유는 명확하다. 펌프의 양정 계산, 배관 설계 시 유속 제한, 차압식 유량계 교정, 증기·가스 흐름의 노즐 설계 등 거의 모든 유체 설비 계산에서 출발점이 된다. 전기 분야에서도 수력발전소의 수압관로와 수차 설계, 냉각수 배관 계통의 해석에서 사용된다.

정리의 한계도 함께 알아 두어야 한다. 실제 유체는 점성이 있어 마찰 손실이 생기므로 베르누이 식만으로는 에너지가 정확히 맞지 않는다. 그래서 손실수두 H_L을 더한 확장 베르누이 식을 쓰는 것이 실무의 기본이다. 압축성 유체의 고속 흐름에서는 밀도 변화를 고려해야 하므로 연속의 정리도 일반 형태로 바뀐다.

시험에서 이 개념이 반복되는 이유는 단순하다. 두 정리는 보존 법칙의 기본 형태이며, 다른 주제(유량 측정, 수차 효율, 관로 손실)의 바탕이 되기 때문이다.

4. 구성요소·원리·절차

연속의 정리와 베르누이의 정리는 정상류(流)의 비압축성 유체를 관로·유로에 흘릴 때 질량 보존과 에너지 보존을 각각 표현한다. 두 식은 따로 쓰이기보다 함께 적용되어 유속과 압력을 구한다.

연속의 정리는 질량 보존을 뜻한다. 정상류에서 한 관로의 임의 단면을 통과하는 유량은 어느 단면에서도 같다. 비압축성 유체는 밀도가 일정하므로 체적 유량 보존으로 줄어든다.

$Q = A_1 v_1 = A_2 v_2$

$A_1 v_1 = A_2 v_2 \quad (A: \text{단면적 [m}^2\text{]},\ v: \text{평균 유속 [m/s]})$

베르누이의 정리는 에너지 보존을 뜻한다. 마찰이 없는 정상류에서 같은 유선 위의 세 에너지(압력, 운동, 위치)의 합은 일정하다. 단위 중량당으로 표현하면 수두의 합이 일정하다.

$\frac{p}{\gamma} + \frac{v^2}{2g} + z = \text{일정}$

여기서 \gamma는 유체의 비중량 [N/m³], g는 중력가속도 [m/s²]이다. 압력수두 p/\gamma, 속도수두 v^2/2g, 위치수두 z가 각각 m 단위를 가진다.

이 식은 같은 유선의 두 점 1, 2 사이에서 다음과 같이 쓴다.

$\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2 + h_L$

여기서 h_L은 마찰 등으로 잃는 수두 [m]이다. 이상 유체에서는 h_L = 0이다.

핵심 원리는 두 정리의 결합이다. 연속의 정리로 단면이 좁은 곳의 유속이 커짐을 알고, 베르누이의 정리로 그곳의 압력이 낮아짐을 안다. 즉 좁은 단면에서 속도수두가 늘고 압력수두가 줄어든다. 벤투리 유량계와 오리피스 유량계가 이 원리를 쓴다.

유속이 빨라지는 곳에서 압력이 낮아진다

절차는 다음과 같다.

• 유선과 기준면을 정하고 점 1, 2의 단면적과 높이를 적는다.
• 연속의 정리 A_1 v_1 = A_2 v_2로 한 점의 유속을 구한다.
• 베르누이 식에 대입해 미지의 압력 또는 유속을 구한다.
• 단위를 점검하고 결과가 상식 범위인지 확인한다.

다음은 두 정리를 흐름도로 정리한 것이다.

5. 관련 법령·기준·표준

연속의 정리와 베르누이의 정리는 법령이 정한 기준값이 아니라 유체역학의 보존 법칙이다. 따라서 조문 번호로 인용하는 항목은 없다. 설계 실무에서는 이 식을 기초로 한 관로 설계 기준과 계측 규격을 참조한다.

실무에서 두 정리를 쓰는 기준은 다음과 같다. 관로의 마찰 손실은 달시-바이스바흐 식이나 헤이전-포아죄유 식으로 따로 계산한다. 계측 기준으로는 차압식 유량계의 교정 계수를 KS 규격에 따라 정한다. 해당 KS 번호는 확실하지 않으므로 기준 이름만 쓴다.

비점성 가정은 실제 관로에서 성립하지 않는다. 점성과 난류에 따른 손실은 손실 수두 h_L로 보정하며, 배관의 마찰 계수는 레이놀즈 수와 상대 조도에 따라 정한다.

6. 유형과 비교

연속의 정리와 베르누이의 정리는 흔히 함께 쓰이지만 답하는 질문이 다르다. 연속의 정리는 질량보존으로 유량과 유속의 관계를 정하고, 베르누이의 정리는 에너지보존으로 한 유선 위에서 압력·속도·위치의 관계를 정한다. 두 정리를 나란히 놓으면 어떤 조건에서 어떤 식을 쓰는지 구분할 수 있다.